《高考文科数学解题策略专题六解析几何第四节解析几何的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考文科数学解题策略专题六解析几何第四节解析几何的综合应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节解析几何的综合应用解析几何是历年高考的热点，每年高考卷上选择题、填空题、解答题都会出现，基本呈现稳定的 态势，而且解答题难度较大，综合性强，且经常以压轴题的形式出现，入手容易但计算量大，又与其他 知识综合命题，所以成了大部分学生在高考中的心理障碍，是解题时的鸡肋”.复习时如何突破这块知识点，是我们亟待解决的问题.难度值跨度比较大，在 0.30.8之间.考试要求(1) 了解直线、曲线的实际背景；(2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；(3) 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其几何性质；(4) 了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道其几何性质；(5) 了解圆锥曲
2、线的简单应用； (6)掌握数形结合、等价转化的思想方法.题型一有关圆知识点的应用例1、在平面直角坐标系 xOy中，设二次函数f(x) x2 2x b(x R)的图象与两坐标轴有三个交点， 经过这三个交点的圆记为C(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与 b无关)？请证明你的结论.点拨：根据二次函数 f(x) x2 2x b(x R)图象的特点：开口向上，与 y轴交点为(0,b)可以得出b 的范围.又由圆C是过抛物线与坐标轴三交点的圆和圆的一般方程的特点，可以用b来表示圆的一般方程再由方程的解和曲线方程的定义可以假设圆C要过点(x, y)且xo, y0不
3、依赖b ,将该点坐标代入圆的方程中，整理变形，再观察验证圆是否过定点解：(1)令x 0 ,得抛物线与y轴交点是(0, b),令f (x) x2 2x b 0 ,由题意b 0且4 4b 0,解得 b 1且 b 0.(2)设所求圆的一般方程为x2 y2 Dx Ey F 0 ,令y 0得x2 Dx F 0 ,它与x2 2x b 0是同一个方程，故 D 2,F=b,令x 0得y2 Ey F 0 ,此方程有一个根b为，代 入彳导E b 1所以圆C的方程为x2 y2 2x (b 1)y b 0.(3)圆C过定点.证明如下：假设圆C过定点(x0, y0) (x0, y0不依赖于b)将该点的坐标代入圆 C的
4、方程，并变形为x。2 y。2 2xo y b(1 y0) 0 (*),为使(*)式对所有满足b 1(b 0)的b都成立， x0 0,x0 2,必须有1 y0 0,结合(*)式解得 y0 1,或y0 1,经检验知点(0,1),( 2,1)均在圆C上，因此圆C过 定点.易错：(1)中学生很有可能直接4 4b 0解得b 1而没b 0; (2)中没有意识到令 y 0,x2 Dx F 0与x2 2x b 0是同一个方程没解出 D 2, F b;(3)对方程(*)不知道怎么下手，从而得不出1yo 0.变式与引申1.已知以点C(t,2)(t R,t 0)为圆心的圆与x轴交于点0、A,与y轴交于点0、B ,其
5、中。为原点. (1)证明：OAB的面积为定值；(2)设直线y 2x 4与圆C交于点M , N ,若OM ON ,求圆C的方程.题型圆锥曲线的定义及应用2如图6 4 1, F1和F2分别是双曲线二 a2 y_ b2= 1(a0,b0)的两个焦点， A和B是以。为圆心，以OFi为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(A) J3(B) 5(D).3 1点拨：利用双曲线的定义及直角三角形面积的两种表示形式，建立方程 再求解.解：连AF1,则AF1F2为直角三角形，且斜边 F1F2之长为2c.令AF1 =1, AF2 =2 .由直角三角形性质知:-1-r2 r1
6、2a, 一2 2c (222a c.224212 4c ,2a c_ 2_2-二 2a 2ac c 0 ,2e 20.-e 1,.取 e= J3+1 .故选 D.注：本题若求出点 A的坐标,再代入双曲线方程也可求出易错点：(1)正确应用相应曲线的定义至关重要，否则解题思路受阻.(2)由直角三角形面积的两种表示形式得出关系式1 2 2c2r1r2是值得注意的问题.变式与引申22双曲线42 y b2=1( b N)的两个焦点Fi、F2, P为双曲线上一点,|OP|V5, |PFi|,|FiF2|,|PF2|成等比数列，则b2=题型三圆锥曲线的几何性质2X例3、如图6 4 2所不，从椭圆B a2y2
7、 1(a b 0)上一点 M y点F1 ,且它的长轴端点 A及短轴端点B的连线AB/OM(1)、求椭圆的离心率 e；向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦(2)、设Q是椭圆上任意一点,F2是右焦点，冗是左焦点，求FQF2的取值范围;(3)、设Q是椭圆上任意一点，当QF2 AB时，延长QF2与椭圆交于一点 巳若 F1PQ的面积为20 J3,求此时椭圆的方程.点拨：从OM /AB着手，寻找a、c的关系，最后求得离心率 e；在焦点三角形中，用余弦定理,求得cos FQF2的范围，从而求得FQF2的范围；则PQ与椭圆相交，求得弦 PQ的长和点Fl至IJPQ的距离，由SF1PQ 20 J3的条件求得椭圆方程中
8、的 a、b,从而求得方程22解：(1) Q MF1 x 轴xyxM c,代入椭圆万程1(a b 0) ab得yMb2aKomb2acb又Q Kab且 OM/AB,abac故b c从而e设 QF1r1, QF2 F1QF2A 2 2a, F1F2 2ccos22, 2r 1 r 2 4c21222(r1 r2)2r1r2 4c2rj21 1 0当且仅当r1 r2时,12( r1 r2 )22上式成立.0 cos 1故 0, 222(3) Qb c,a J2c,设椭圆方程为 -yy 12c cQ PQ AB, KabKpq J2? 直线PQ的方程为 y J2（x c）,代入椭圆方程，得22 一5x
9、 8cx 2c 0,PQ J 8c)2(W2) (1 2)555、2c.又点F1到PQ的距离d2.63孰C1.一S F1PQTdPQ1212、66、24、3 2c c c , 2355由 W3c2 206,得 c2 25,故 2c251（汪：此间亦可用 S FPQi -|F1F2 yp点评：本例中第（1）问是课本题，第（2250.所求椭圆方程为1 .50 25yQ求得）2） （3）问是该题的引申，像这种源与课本，又有拓宽引申的题常常是高考试题的来源之一，应引起大家的重视，注意掌握好这一类问题 变式与引申3 .已知抛物线y2=2px （p0）的准线与圆（x3） 2+y2=16相切，则p的值为 （
10、）A.12B.1C.2D.4题型四直线与圆锥曲线的关系【例4】设。为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且 PQ为过焦点的弦，若|OF|二a , |PQ|二b ,求4OPQ 的面积.点拨：结合抛物线方程的特点，可设方程为y2=4ax (a0) , F (a, 0),再运用抛物线的定义，找出P、Q两点横坐标、X2关系，最后设过方程的直线为y k(x a),(还要注意斜率k存在与否的讨论)由22 cyy2yyy2y1y2 求解即可.解：如图8所示，由题意知抛物线的方程为y2 4ax a设P为)1 ,Q X2, y2 ,由抛物线的定义知：|PQ |PF QF| x1 a x2 a x1 x2 2a b22
11、2,1yy所以x1 x2 b 2a 由y 4ax得: b4a 4a. 一 22故 y1y24a b 2a设过F的弦的斜率为k,则其方程为y k(x a),2a将其与抛物线方程联立知：ky24ay 4a2k=0故y1y22.4a k ,24ak若斜率不存在，则其两个交点为(a, 2a）与（a, 2a）,同样有 y1y24a2那么 yi y2Jy： V； 2Y1Y2J4ab 2a一.一1 一r-因此：S opq - OF y2 y1 avabpqI I I - J * 11易错：(1)不会使用焦半径公式而导致运算复杂；(2 4a22 . ab2)直接设过F的弦的斜率为k,则其方程为y k(x a)
12、,后面没有对斜率k是否存在进行讨论.变式与引申22x v4 . (2011年局考四川卷又)过点C(0, 1)的椭圆 二、1(a b 0)的离心 a b-3率为,椭圆与x轴交于两点A(a,0)、A( a,0),过点C的直线l与椭圆交2于另一点D,并与x轴交于点巳直线AC与直线BD交于点Q.(I)当直线l过椭圆右焦点时，求线段 CD的长；uuu UULT(n)当点P异于点B时，求证：OP OQ为定值.本节主要考察：(1)基础知识有圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.以及这些知识的综合应用.(2)基本方法有求圆锥曲线的定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和 几
13、何问题代数化”等解析几何的基本方法.(3)基本思想有数形结合思想、方程思想、等价转化思想等.(4)基本能力有逻辑推理能力、运算求解能力、探究创新能力，并尝试考察解决实际 问题的能力.点评：(1)圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，同时又是热点和压轴点之一， 主要考察圆锥曲线的定义与性质，求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，以圆锥曲线为载体 的探索性问题等.(2)恰当利用圆锥曲线的定义和几何特征，运用数形结合思想，可避免繁琐的推理和运算(3)求圆锥曲线主要方法有定义法、待定系数法、相关点法，另外还有直接法、参数法等(4)圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半
14、径、焦点三角形、通径等都是高考命题点，它们源于课本，高于课本，应引起重视，注意掌握这类问题的求解方法与策略.如求离心率的大小或范围，只需列出关于基本量a、b、c的一个关系式即可.(5)求参数的最值或范围问题是圆锥曲线的一种常见问题，主要方法一是根据条件建立含参数的等式，再分离参数求其值域；另一是列出含参数的不等式，进而求之.列不等式的思路有 运用判别式 0或 0 ;点在圆锥曲线的内部或外部；利用圆锥曲线的几何意义（如椭圆中-a x实a根据三角形两边之和大于第三边（注意共线情况）等 （6）充分利用向量的工具作用，运用坐标法，把几何问题变为纯代数问题，体现解析几何的基本 思想方法.（7）运用韦达定理的解题方法是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的核心方法，其解题步骤是设”（点的坐标，直线、曲线方程）、联”（联立方程组）、消”（消去一元，得到一元二次方程）、用”（运用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式等）、判”（运用判别式检验、求参数的值或缩小参数的取值范围）.（8）关注解析几何中的
