《大学物理例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理例题（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、例1 路灯离地面高度为H，一种身高为h 的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。如图3-4所示。求当人与灯的水平距离为时，她的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。解: 建立如右下图所示的坐标， 时刻头顶影子的坐标为，设头顶影子的坐标为，则由图中看出有则有因此有;例2 如右图所示，跨过滑轮C 的绳子，一端挂有重物B，另一端A被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率 。A离地高度保持为h，h =1.5m。运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅直位置绷紧，滑轮离地高度H = 10m，滑轮半径忽视不计，求： (1) 重物B上升的运动方程； (2) 重物B在时刻的速率和加速度； (3) 重物B达到C处所需的
2、时间。 解：(1)物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0 = H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为因绳长为 由上式可得重物的运动方程为(SI)(2)重物B的速度和加速度为 (3)由知 当时，。此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。例3 一质点在xy平面上运动，运动函数为x = 2t, y = 4t2-8(SI)。 (1) 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线； (2) 求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。 解：(1) 在运动方程中消去t，可得轨道方程为，轨道曲线为一抛物线如右图所示。 (2) 由可得: 在 t1=1s 时，在 t2
3、=2s 时, 例4 质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，后来加速度均匀增长，每通过 秒增长a0，求通过 t 秒后质点的速度和位移。 解：本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。 由题意可知，加速度和时间的关系为:根据直线运动加速度的定义由于t = 0 时，v0=0，故 根据直线运动速度的定义有由于t = 0 时，x0=0 ，则位移为例5 (1) 对于作匀速圆周运动的质点，试求直角坐标和单位矢量 i 和 j 表达其位置矢量r, 并由此导出速度v 和加速度a 的矢量体现式。 (2) 试证明加速度a的方向指向轨道圆周的中心。 解:(1)由右图可知 式中，且根据题意
4、是常数，因此，有 又因 因此 (2) 由上式可见，a与r方向相反，即a指向轨道圆周中心。 6 一张致密光盘(CD)音轨区域的内半径 R = 2.2cm，外半径为R = 5.6cm, 如右图所示，径向音轨密度N = 650条/mm。在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以的恒定速度运动的。这张光盘的所有放音时间是多少？激光束达到离盘心 r = 5.0cm 处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少？解: (1) 以r表达激光束打到音轨上的点对光盘中心的径矢，则在dr宽度内的音轨长度为2rNdr 。激光束划过这样长的音轨所用的时间为 dt = 2rNdr/v 。由
5、此得光盘的所有放音时间为(2) 所求角速度为所求角加速度为 例3 两个质量均为m 的质点，用一根长为 2a、质量可忽视不计的轻杆相联，构成一种简朴的质点组。如图5-4所示，两质点绕固定轴 OZ以匀角速度 转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为 ，求质点组对O点的角动量大小及方向。解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相似（与OA和 mv 构成的平面垂直）。角动量的大小为例6 如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为，求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，
6、滑动轴受的摩擦力忽视不计。 解： 对m1，由牛顿第二定律对m2，由牛顿第二定律 对滑轮，用转动定律 又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑 联立解以上诸方程，可得 例7 如图5-8所示。两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。两者都可视为均匀圆柱体并且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。解： 如图示，由牛顿第二定律 对m1： 对m2： 对整个轮，由转动定律 又由运动学关系联立解以上诸式，即可得 例8 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO转动，设大小圆柱体的
7、半径分别为 R 和 r，质量分别为 M 和 m，绕在两柱体上的细绳分别与物体 m1 和物体 m2 相连，m1 和 m2 分别挂在圆柱体的两侧，如图5-9（a）所示。设 R = 0.20m，r = 0.10m，m = 4kg，M = 10kg，m1= m2= 2kg，且开始时m1、m2离地均为h = 2m，求： （1）柱体转动时的角加速度；（2）两侧细绳的张力；（3）m1经多长时间着地？ （4）设m1与地面作完全非弹性碰撞，m1着地后柱体的转速如何变化？ 解： 设a1、a2分别为m1、m2的加速度，为柱体角加速度，方向如图5-9(b)所示。 （1）m1、m2的平动方程和柱体的转动方程如下：式中：
8、 ; ; ; ； 联立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度为 代入数据后得 （2） 由(1)式得 由(2)式得 （3）设m1着地时间为t，则 （4）m1 着地后静止，这一侧绳子松开。柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉力的阻力矩，柱体转速将减小，m2减速上升。 讨论: 如果只求柱体转动的角加速度，可将柱体、m1、m2选做一种系统，系统受的合外力矩 ，则加速度 本题第二问还规定两侧细绳的张力，故采用本解法是必要的，即分别讨论柱体的转动、m1和 m2 的平动。 例9 一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m 的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬，如图5-10所示。 （1）
9、二人与否同步达到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量与否守恒？机械能与否守恒？系统对滑轮轴的角动量与否守恒？ （2）当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各是多少？ 解： （1）甲、乙二人受力状况相似，皆受绳的张力T，重力mg，二人的运动相似，由于 因此二人的加速度相似，二人的速度为因初速度v0 = 0，二人在任一时刻的速度相似，上升的高度相似，因此同步达到顶点。 以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg) 0，故系统的动量不守恒。以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不守恒。显然人在上升中机械能在样加。但甲、乙二人相对滑轮轴的合外力
10、矩（M = TR -TR + mgR-mgR）等于零，系统对轴的角动量守恒。 （2）设甲的速度 、乙的速度为 ，从解（1）知二人的速度相等，即 ，这个成果也可用角动量守恒得到，因故 设绳子的牵连速度为v0，设滑轮左侧绳子的v0向下，那么滑轮右侧的v0一定向上，根据速度合成定理因此 则讨论:由于人用力上爬时，人对绳子的拉力也许变化，因此绳对人的拉力也也许变化，但甲、乙二人受力状况总是相似，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相似，二人总是同步达到顶点。例12 一质量为M，半径为R，并以角速度旋转着的飞轮，某瞬时有一质量为 m 的碎片从飞轮飞出。假设碎片脱离圆盘时的瞬时速度方向正好竖直向上，如图
11、5-11所示。求余下圆盘的角速度、角动量。 解：破裂瞬间，系统对转轴的合外力矩为零，系统角动量守恒得余下圆盘角速度不变。 余下圆盘的角动量例13 赤道上有一高楼，楼高h（图5-12）。由于地球自转，楼顶和楼根对地心参照系均有线速度。 （1）证明：楼顶和楼根的线速度之差为 ，其中 为地球自转角速度。 （2）证明：一物体由楼顶自由下落时，由于地球自转的影响，着地点将在楼根东侧约 处。这就是落体偏东现象。计算 h = 30m 时，着地点偏东的距离。（此成果运用了物体下落时“水平”速度不变这一近似解决。事实上物体下落时应当是地球对自转轴的角动量保持不变。运用这一点，并取楼高对地球半径之比的一级近似，则
12、可得更有为精确的成果 。） 证：（1）楼顶的线速度为 楼根的线速度为 。两者之差 。 （2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度 平移，则落体下落时间为 而着地时偏东的距离为 以 代入上式可得 例15 一种内壁光滑的圆环型细管，正绕竖直光滑固定轴 OO自由转动。管是刚性的，环半径为R 。一质量为 m 的小球静止于管内最高点A处，如图5-14所示。由于微小扰动，小球向下滑动，试判决小球在管内下滑过程中，下列三种说法与否对的，并阐明理由。 （a）地球、环管与小球系统的机械能不守恒。（b）小球的动量不守恒。 （c）小球对OO轴的角动量守恒。 辨析 （a）不对的。对小球、环管、地球系统，外力为零，外力的
13、功固然为零，环管与小球间的正压力 N 和 N是一对非保守内力。在小球下滑过程中，小球受管壁的压力N（与管壁垂直）始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂直，因此这一对内力做功之和为零，并且与参照系的选择无关。系统中只有保守内力（重力）做功，系统的机械能守恒。 （b）对的。小球在下滑过程中始终受到管壁的压力和重力，而此二力的方向不同，因此合力不为零，使得小球的动量不断变化。 （c）不对的。小球在下滑过程中受重力和管壁的压力，重力和OO轴平行，重力的轴向力矩恒为零，但管壁对小球的压力方向不通过OO轴，对OO轴有力矩，因此小球对OO的角动量在变化，角动量不守恒。例如小球在位置 A 对OO轴的角动
14、量为零，在 B 处小球有垂直于环半径的水平分速度，它对OO轴的角动量不再是零，达到最低点C 时，对OO轴的角动量又等于零。 例1 一条均匀链条，质量为m，总长为l，成直线状放在桌面上，如图6-8所示，设桌面与链条之间的摩擦系数系数为 。现已知链条下垂长度为a时链条开始下滑，试计算链条刚好所有离开桌面时的速率。 解：运用动能定理计算此题，链条下落过程有重力、摩擦力做功，根据动能定理 当链条下垂y再继续下垂 时，重力功 为 全过程重力的功 桌面摩擦力在链条下滑时做的功为 代入动能定理 解出 例2在质量m、半径R 的圆盘形定滑轮上跨一轻绳，在绳一端施一恒力 ，另一端系一质量m，边长为L的立方体，开始时立方体上端面正好与密度为 的液面重叠，并在绳子拉动下由静止开始上升，如图6-9。 求：(1) 当立方体一半露出液面时，滑轮与立方体间绳张力； (2) 立方体刚离开液面时的速度。 解：(1) 立方体与滑轮受力分别如图6-10、图6-11所示。 当立方体露出一半时浮力 对立方体，由牛顿第
