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1、利用 Matlab 作回归分析一元线性回归模型：y 二 a + px + , N(O,g2)求得经验回归方程：y 二a + p x统计量：总偏差平方和：SST = 丫 (y -刃2，其自由度为f二n -1 ； iTi=1回归平方和：SSR二工(y - y )2，其自由度为f = 1 ； iRi=1残差平方和：SSE =工(y -y )2，其自由度为f = n-2 ；i iEi=1它们之间有关系： SST=SSR+SSE。一元回归分析的相关数学理论可以参见概率论与数理统计教 程，下面仅以示例说明如何利用 Matlab 作回归分析。【例1】为了了解百货商店销售额X与流通费率(反映商业活动 的一个质
2、量指标，指每元商品流转额所分摊的流通费用)y之间 的关系，收集了九个商店的有关数据，见下表 1.试建立流通费 率 y 与销售额 x 的回归方程。表 1 销售额与流通费率数据样本点销售额x(万元)流通费率y11.57.024.54.837.53.6410.53.1513.52.7616.52.5719.52.4822.52.3925.52.2【分析】：首先绘制散点图以直观地选择拟合曲线，这项工作可 结合相关专业领域的知识和经验进行，有时可能需要多种尝试。 选定目标函数后进行线性化变换，针对变换后的线性目标函数 进行回归建模与评价，然后还原为非线性回归方程。【Matlab 数据处理】：【Stepi
3、】：绘制散点图以直观地选择拟合曲线x=1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 25.5;y=7.0 4.8 3.6 3.i 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2; plot(x,y,-o)输出图形见图 i 。图 1 销售额与流通费率数据散点图根据图 1，初步判断应以幂函数曲线为拟合目标，即选择非 线性回归模型，目标函数为：y 二 axb (b F)q 0 ；模型方差的估计值.2 - SE - 0.0012。n-2【注】：严格来讲，模型评价工作应在逆线性化变换后进行；但 是，若所建立的线性回归方程不理想，则相应的非线性回归方 程必定不理想。【Step3】：拟线
4、性化变换求非线性回归方程(若选择为非线性 模型)% 逆线性化变换A=exp(b(1)B=b(2)运行结果为： A = 8.5173； B =-0.4259。即非线性回归方程为：y - 8.5173x-0.4259 。多元回归模型多元线性回归模型(p1):y =卩 + 卩 x + 卩 x H卩 x + 8 , 8 口 N(0Q 2)0 1 1 2 2 p p 求得经验回归方程：y =卩+卩x +卩x H卩x0 1 1 2 2 p p 统计量：总偏差平方和：SST =工(y - y)2，其自由度为f = n -1 ；iTi=1回归平方和：SSR =工(y -y)2，其自由度为f = p ；iRi=
5、1残差平方和：SSE =(y -y )2，其自由度为f = n-p-1 ；i iEi=1它们之间有关系： SST=SSR+SSE。 多元回归分析的相关数学理论可以参见多元数据分析，下面 仅以示例说明如何利用Mat lab作多元回归分析。【例 2】参见教材 P294： 10.1 牙膏的销售量。下面只描述运行程序的过程，应该按照规定格式书写报告】。符号说明：x ：表示价格差；1x ：广告费用；2y ：销售量。【Stepi】：绘制散点图以直观地选择拟合曲线 clear x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40
6、 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.506.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.507.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.898.15 9
7、.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.008.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;h1=figure;plot(x1,y,+);h2=figure;plot(x2,y,o);图 1 y 对 x1 的散点图75109.598.587.55.566.5y77.5图2x2 的散点图分析图 1，可以发现，随着 x1的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势； 分析图 2，当 x 增大时， y 有向上弯曲的趋势，可用二次多项式 进行逼近；因此可以选择如下方程作为初步的回归模型：y =卩 +卩 x +卩 x +卩 x
8、2 + , N(u,Q 2)0 1 1 2 2 3 2【Step2】：模型求解(理论方法：最小二乘法)alpha=0.05;v二ones(leng th(x1),1) x1 x2(x2.八2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,v,alpha)计算结果：b = 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486bint =5.728228.92060.68291.9311-7.49890.10770.03790.6594r = -0.0988-0.0795-0.1195-0.04410.4660-0.0133 0.2912 0.2735-0.23510.103
9、1-0.40330.17470.0400-0.1504 0.1284 0.1637-0.0527-0.1907-00870-0.0165-0.1292-0.3002 -0.2933 -0.1679-0.21770.1116030350.06930.24740.2270rint =-.52700.3294;-0.53090.3718;-0.5106 0.2716;-0.47310.3848;0.08130.8507;-0.46090.4343;-0.1374 0.7197; -0.0870 0.6340; -0.59600.1258;-0.3280 0.5341; -0.81900.6112;-
10、0.40320.4832; -0.59330.5775;-0.28410.6116; -0.48300.2434;-0.53480.3609; -0.44230.3024;-0.71810.1177; -0.72430.2190;-0.64490.2095; -0.29940.7106;-0.37140.5099; -0.18070.64300.0125; -0.26180.2925; -0.32070.3776; -0.62480.4092; -0.56090.1377; -0.55480.5226; -0.10370.6755; -0.1890stats = 0.9054 82.9409
11、0.0000 0.0490【St ep3】结果分析回归模型为：y 二 17.3244+1.3070x -3.6959x + 0.3486x2122从结果数据来看，模型整体可用。但也有缺陷，可以改进【St ep4】销售量的预测设需要预测的点为：x = (x ,x ，,x )，0 01 02 0 p则预测值为y = P + 卩 x + 卩 x H卩 x0 0 1 01 2 02 p 0 p *2 =E,A= ；1 + + n - p -1nni=1 j=1(x x)(x x )c , x =- x0ii0 jj ij i n kik=1(c) = (XT X)-1，ij Px P则在 x 处的区间预测为 0(y -1 _ (n - p - 1)d *A , y +1 _ (
