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1、（重点班）2017届高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第4节双曲线课时训练理第4节双曲线 【选题明细表】知识点、方法题号双曲线定义和标准方程1,6,9,11,15双曲线的几何性质2,3,4,5,7,10,12,14双曲线的综合问题8,13,16,17基础对点练(时间:30分钟)1.已知方程-=1表示双曲线,则的取值范围是(C)(A)(-,-2) (B)(1,+)(C)(-,-2)(-1,+)(D)(-1,+)解析:根据题意知(2+)(1+)0,解得-1或2,所以e=.故选C.4.(2016邯郸一模)已知点A,B是双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上除顶点外的一点,记kPA,kPB分别表示直线
2、PA,PB的斜率,若kPAkPB=,则该双曲线的离心率为(C)(A)3(B)2(C)(D)解析:由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(m,n),所以kPAkPB=,又点P在双曲线上,所以-=1,化简得n2=,所以kPAkPB=.所以e=.故选C.5.(2015石家庄二检)已知F是双曲线-=1(a0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则POF的大小不可能是(C)(A)15(B)25(C)60(D)165解析:因为两条渐近线y=x的倾斜角分别为30,150,所以0POF30或1500,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线
3、离心率的最大值为(A)(A)(B)(C)2(D)解析:因为|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,即2a=6|MF1|6(c-a),故8a6c,即e=.故选A.8.(2015银川一模)若点A(m,0)到双曲线-y2=1的一个顶点的距离是A到双曲线上各点的距离的最小值,则m的取值范围是(B)(A)-3,3(B) -,(C)-2,2(D) -,解析:由题意知,a=2,b=1,c=,双曲线的左、右顶点分别为M(-2,0),N(2,0),显然当-2m0时,点A(m,0)到双曲线左顶点的距离最短;当02时,设双曲线右支上任意一点P(x,y),|PA|2=(x-m)2+y2=(
4、x-m)2+-1|AN|2=(2-m)2,化简得(2x-4)mx2-5,当x=2时,不等式恒成立,当x2时,m(x+2),故m;同理,当m0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是.解析:设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0).因为B(0,b),所以F1B所在的直线为-+=1.双曲线渐近线为y=x,由得Q(,).由得P(-,),所以PQ的中点坐标为(,).由a2+b2=c2得,PQ的中点坐标可化为(,).直线F1B的斜率为k=,所以PQ的垂直平分线为y-=-(x-)
5、.令y=0,得x=+c,所以M(+c,0),所以|F2M|=.由|MF2|=|F1F2|得=2c,即3a2=2c2,所以e2=,所以e=.答案:11.(2016成都模拟)已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为.解析:在方程x2+y2-4x-9=0中,令x=0得y=3.不妨设A(0,-3),B(0,3).设所求双曲线标准方程为-=1(a0,b0),因为点A在双曲线上,所以=1,即a2=9.因为A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分.所以双曲线的焦点为(0,-9),(0,9).a2+b2=81,所以b2=72
6、.此双曲线的标准方程为-=1.答案:-=112.(2015贵阳监测)已知点P是双曲线C:-=1(a0,b0)左支上一点,F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,且PF1PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是.解析:由题意可知,ON为PF1F2的中位线,所以PF1ON,所以tanPF1F2=tanNOF2=kON=,所以解得又|PF2|-|PF1|=2a,所以2b-2a=2a,b=2a,c=a,e=.答案:13.(2016大连双基测试)已知离心率e=的双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近
7、线相交于O,A两点,若AOF的面积为4,则a的值为.解析:因为e=,所以=,=,设|AF|=m,则|OA|=2m,SAOF=m2m=4,所以m=2,由勾股定理,得c=2,又=,所以a=4.答案:414.(2016日照模拟)已知F1,F2为双曲线-=1(a0,b0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为 .解析:设F2(c,0)(c0),P(c,y0),代入双曲线方程得y0=,因为PQx轴,所以|PQ|=.在RtF1F2P中,PF1F2=30,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=.又因为c2=a2+b2,所以b2=2a2或2a2=-3b
8、2(舍去).因为a0,b0,所以=.故所求双曲线的渐近线方程为y=x.答案:y=x能力提升练(时间:15分钟)15.(2015开封摸底考试)从双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为(C)(A)|MO|-|MT|b-a(B)|MO|-|MT|0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(A)(A)(-1,0)(0,1)(
9、B)(-,-1)(1,+)(C)(-,0)(0,)(D)(-,-)(,+)解析:由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B(c,),C(c,-),kAB=,因为CDAB,所以kCD=,所以直线CD的方程为y+=(x-c).由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得xD=+c,点D到直线BC的距离为c-xD,所以a+=a+c,b4a2(c-a)(c+a)=a2b2,b2a2, ()20,b0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AFBF,设ABF=(,),则双曲线的离心率e的取值范围为.解析:设左焦点为F,令|AF|=r1,|AF|=r2,则|BF|=|F
10、A|=r2,所以r2-r1=2a,因为点A关于原点O的对称点为B,AFBF,所以|OA|=|OB|=|OF|=c,所以+=4c2,所以r1r2=2(c2-a2),因为SABF=2SAOF,所以r1r2=2c2sin 2,所以r1r2=2c2sin 2,所以c2sin 2=c2-a2,所以e2=,因为,所以sin 2,所以e2=2,(+1)2,所以e,+1.答案:,+1精彩5分钟1.过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线左顶点为C,若ACB=120,则双曲线的渐近线方程为(A)(A)y=x(B)y=x(C)y=x(D)y=x解题关键:数形结合求出a,c的关系.解析:如图所示,连接OA,OB, 设双曲线-=1(a0,b0)的焦距为2c(c0),则C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,则ACO=BCO=ACB=120=60.因为|OA|=|OC|=a,所以ACO为等边三角形,所以AOC=60.因为FA与圆O切于点A,所
