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1、一、排列组合问题的解题策略一、相临问题捆绑法例17名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。评注：一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑法解决，共有 种排法。二、不相临问题选空插入法例2 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为： 种 .评注：假设 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空法解决，共有 种排法。三、复杂问题总体排除法在直接法考虑比拟难，或分类不清或多
2、种时，可考虑用“排除法，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 332个.四、特殊元素优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4 (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设老师不排在两端，那么共有不同的排法 种解：先考虑特殊元素老师的排法，因老师不排在两端，故可在中间
3、三个位置上任选一个位置，有 种，而其余学生的排法有 种，所以共有 72种不同的排法.例52000年全国高考题乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有 252种.五、多元问题分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例62003年北京春招某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节
4、目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A A42 B30 C20 D12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，应选A。六、混合问题先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略 例72002年北京高考12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案共有 解：本试题属于均分组问题。 那么12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，应选A。例82003年北京高考试题从黄瓜、白菜、油菜
5、、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 A24种 B18种 C12种 D6种 解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C32种,不同的排法有: A31A22,故不同的种植方法共有A31C32A22=12，故应选C. 七相同元素分配档板分隔法例9把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？此题考查组合问题。解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本
6、书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档内插入两个相同“I一般可视为“隔板共有 种插法，即有15种分法。八、顺序固定用“除法对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。例10、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 A33 =120种。(或A63种)例11、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。解：先在7个位置中任取4个
7、给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排法。(也可以是A77 A33种)九、一一对应法：例11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛即一场失败要退出比赛最后产生一名冠军，要比赛几场？解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。二、随机变量及其分布列1离散型随机变量：可以一一列出。2离散型随机变量的分布列1设离散型随机变量X可能取的值为，X取每一个值的概率，那么下表称为随机变量X的概率分布，简称X的分布列。性质：，概率之和为。离散型随机变量的数学期望：离散型随机变量的方差:1pXP01p2两点分布:（
8、3） 二项分布：在独立重复试验概率公式中，假设将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为，其中。称这样的离散型随机变量服从参数为的二项分布，记作。4超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，那么事件发生的概率为，其中，且，此时称分布列为超几何分布列。5特殊随机变量的数学期望与方差分布数学期望方差二点分布二项分布超几何分布6正态分布：正态变量概率密度曲线函数表达式：，其中是参数，且。如以下图： 例1：随机变量X的分布列为：X210123P分别求出随机变量的分布列。解：分别是的函数，而函数关系可用表的形式表示出来，然
9、后再写出分布列。首先列出如下表格：X210123101410149P从而由上表可得两个分布列101P0149P例2某种彩票的开奖是从1，2，3，36中任意选出7个根本号码，凡购置的彩票上的7个号码中有4个或4个以上根本号码就中奖，根据根本号码个数的多少，中奖的等级为含有根本号码数4567中奖等级四等奖三等奖二等奖一等奖求至少中三等奖的概率. 解.故至少中三等奖的概率为例3甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：1记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；（2） 求乙至多击中目标2次的概率； （3） 3求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.解1的概率分布列为
10、X0123P或2乙至多击中目标2次的概率为3设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件,那么,、为互斥事件，例4高二1班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.1第1组做了5次这种植物种子的发芽实验每次均种下一粒种子，求他们的实验至少有3次成功的概率；2第二小组做了假设干次发芽试验每次均种下一粒种子，如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否那么将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发
11、芽实验的次数的概率分布列和期望。解1至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率2的概率分布列为X12345P所以 【跟踪训练】1、2023广东文数工人月工资y元与劳动生产率x千元变化的回归方程为=50+80x，以下判断正确的是劳动生产率为1千元时，工资为130元；劳动生产率提高1千元，那么工资提高80元；劳动生产率提高1千元，那么工资提高130元；当月工资为210元时，劳动生产率为2千元1解答：解：劳动生产率提高1千元，那么工资提高80元，正确，不正确不满足回归方程的意义故答案为：2、2023广东理数某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170
12、cm和182cm因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为185cm2解答：解：设X表示父亲的身高，Y表示儿子的身高那么Y随X的变化情况如下；建立这种线性模型：X 173 170 176 182Y 170 176 182？用线性回归公式，求解得线性回归方程y=x+3当x=182时，y=185故答案为：1853、2023广东理数甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，假设两队胜每局的概率相同，那么甲队获得冠军的概率为A、B、C、D、3解答：解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失
13、败，第二场取胜，这种情况的概率为=那么甲获得冠军的概率为应选D4、2023广东理数7.随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，那么pX4= A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.15854B=0.3413，=0.5-0.3413=0.15875、2023广东理数8.为了迎接2023年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒5C.每次闪烁时间5秒，共5120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5120-1=595s总共就有600+595=1195s62023广东文科广州2023年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离单位：百公里见下表.假设以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A. B.21 C.22 D.23 6.B【解析】由题意知,所有可能路线有6种:,
