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1、向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为始点,B为终点的有向线段记作,注意:始点一定要写在前面,已知,线段AB的长度叫做有向线段的长(或模),的长度记作.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
2、用有向线段表示向量时,我们就说向量.另外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、c、等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母、等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量和同向且等长,即和相等,记作=.(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O和向量,过点O作有向线段,则点A相对于点O的位置被向量所唯一确定,这时向量又常叫做点A相对于点O的位置向量.(4) 相反向量:与向量等长且方向相反的向量叫做向量的相反向量,记作.显然, .(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作.与向量同方向
3、的单位向量通常记作,容易看出:.(6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量平行于向量,记作.零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD中,如果且,那么四边形ABCD是哪种四边形?四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等. 五
4、、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A相对于点B的位置向量是. 正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2. 设O是正ABC的中心,则向量是( ) A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量3. 的充要条件是( ) A. B.且 l C. D.且与同向4. 是四边形是平行四边形的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形AB
5、CD是菱形的是( ) A. B.且C.且 D.且6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( ) A.零向量没有方向 B.零向量的长度为 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向任意7. 设与已知向量等长且方向相反的向量为,则它们的和向量等于( ) A.0 B. C.2 D.2（二）填空题：8. 下列说法中: (1)与的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。错误的说法有 .9. 下列命题中: (1)单位向量都相等 (2)单位向量都共线 (3)共线的单位向量必相等 (4)与一非零向量共线的单位向量有且只有
6、一个.中正确的命题的个数有 个.10. 下列命题中: (1)若=0,则=0. (2)若,则或.(3)若与是平行向量,则. (4)若,则.其中正确的命题是 (只填序号).（三）解答题：11. 如图,四边形ABCD于ABDE都是平行四边形.(1) 若,求;(2) 若,求;(3) 写出和相等的所有向量;(4) 写出和共线的所有向量.向量的加法与减法运算一、高考要求：掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律.二、知识要点：1. 已知向量、,在平面上任取一点A,作,作向量,则向量叫做向量与的和(或和向量),记作+,即.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则
7、.2. 已知向量、,在平面上任取一点A,作,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量=+=+.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.3. 已知向量、,在平面上任取一点O,作,则+=,向量叫做向量与的差,并记作-,即=.由此推知:(1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量;(2) 一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量;(3) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量.4. 向量加法满足如下运算律: (1); (2).三、典型例题：例1:已知任意
8、两个向量、,不等式是否正确?为什么?例2:作图验证:.四、归纳小结：1. 向量的加法有三角形法则()或平行四边形法则(+=),向量的减法法则().2. 向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.3. 任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量(相对于一个基点). 五、基础知识训练：（一）选择题：1. 化简的结果为( ) A. B. C. D.02. 在ABC中,则等于( ) A. B. C. D.3. 下列四式中不能化简为的是( ) A. B.C.
9、D.4. 如图,平行四边形ABCD中,下列等式错误的是( ) A. B. C. D.5. 下列命题中，错误的是( )A.对任意两个向量、,都有 B.在ABC中,C.已知向量,对平面上任意一点O,都有D.若三个非零向量、满足条件,则表示它们的有向线段一定能构成三角形6下列等式中，正确的个数是( ) ;.A.2 B.3 C.4 D.5（二）填空题：6. 在ABC中,= ,= .7. 化简:= ,= .（三）解答题：8. 若某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北方向位移50m到达点C,再从点C向北偏西方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.数乘向量一、高考要求：掌握数乘向量的
10、运算及其运算律.二、知识要点：1. 数乘向量的一般定义:实数和向量的乘积是一个向量,记作.当时,与同方向,;当时,与反方向,;当或时,.2. 数乘向量满足以下运算律: (1)1=,(-1)=; (2);(3); (4).三、典型例题：例1:化简: 例2:求向量:四、归纳小结：向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列关于数乘向量的运算律错误的一个是( ) A. B. C. D.2. D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB上的中点,且,给出下列命题,其中正确命题的个数是( ) ; ; ; . A.1 B.2 C.3 D.43. 已知A
11、M是ABC的BC边上的中线,若,则等于( ) A. B. C. D.4. 设四边形ABCD中,有,且,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形（二）填空题：5. 化简:= .6. 若向量满足等式: ,则= .7. 数乘向量的几何意义是 .（三）解答题：8. 已知向量(也称矢量),求作向量. 9. 已知、不平行,求实数x、y使向量等式恒成立.10. 任意四边形ABCD中,E是AD的中点,F是BC的中点,求证:. 平行向量和轴上向量的坐标运算一、高考要求：掌握向量平行的条件,理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标及其运算.二、知识要点：1. 平行向量基本定理:如果向量,
12、则的充分必要条件是,存在唯一的实数,使.该定理是验证两向量是否平行的标准.2. 已知轴,取单位向量,使与同方向,对轴上任意向量,一定存在唯一实数x,使.这里的x叫做在轴上的坐标(或数量),x的绝对值等于的长,当与同方向时,x是正数,当与反方向时,x是负数.(1) 设,则当且仅当;=.这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.(2) 向量的坐标通常用AB表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙尔公式:AB+BC=AC.(3) 轴上向量的坐标运算:起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.即在轴x上,若点A的坐标
13、为,点B的坐标为,则AB=.可得到数轴上两点的距离公式:.三、典型例题：例1:已知:MN是ABC的中位线,求证:.例2:已知:,试问向量与是否平行?并求.例3:已知:A、B、C、D是轴上任意四点,求证:四、归纳小结：1. 平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式,可以通过向量的运算解决几何中的平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式.2. 数轴上任一点P相对于原点O的位置向量的坐标,就是点P的坐标,它建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 如果,那么与的关系一定是( ) A.相等 B.平行 C.平行且同向 D.平行且反向2. 若,且,则四边形ABCD是( ) A.平行四边形 B.梯形
