， 基本不等式求最值的常用方法一、常数代换法1、直接“1”代换例1. 已知正数 x 、 y 满足 x +2 y =1 ，求1 1+ 的最小值. x y1 1 2 y x解析： ( x +2 y )( + ) =1 +2 + + ³3 +2 2x y x y当且仅当2 y x= 即 x = 2 -1 y = x y2 -22时取“ =”变式. 已知正数 x 、 y 满足 x +2 y =3 ，求1 1+ 的最小值. x y1 1 1 1 2 y x 1 2 2 解析： ( x +2 y )( + ) = (1 +2 + + ) ³ (3 +2 2) =1 +3 x y 3 x y 3 3当且仅当2 y x= 即 x =3( 2 -1) y = x y3(2 - 2)2时取“ =”2、间接“1”代换例1. 若 x 、 y 为正实数且 2 x +8 y -xy =0 ，求 x +y 的最小值.解析：2 x +8 y -xy 2 8 2 8 2x 8y=0 即 + =1 ， (x +y)( + ) =8+2+ + ³10+2 2´8=18 xy y x y x y x当且仅当2 x 8 y= 即 x =12 ， y =6 时取“ =” y x例 2.若正数 x 、 y 满足 x +3 y =5 xy ，求 3 x +4 y 的最小值.解析：x +3 y 5 xy 1 3 = =5 即 + =5xy xy y x1， 1 -x1 1 3 1 3x 12y 1(3x +4y)( + ) = (9 +4+ + ) ³ (13+2 3´12) =5 5 y x 5 y x 5当且仅当3x 12 y=y x1即 x =1 y = 时取“ =”2例 3.已知 x 、 y 均为正数，且1 1 4 x 9 y + =1 ，求 +x y x -1 y -1的最小值.解析：41 -1x+91 -1y=4 9 1 1 4 y 9 x+ =(4 y +9 x )( + ) =13 + + ³13 +2 36 =25 1 1 x y x yy x当且仅当4 y 9 x 5 5= 即 x = y = 时取“ =” x y 3 ， 2例4. 已知函数 y =a 的图像恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx +ny =1 （ m >0, n >0 ） 1 1上，求 + 的最小值.m n解析：由题意可得 A 的坐标为（1,1） 则有 m +n =11 1 1 1 n m+ =( + )( m +n ) =2 + + ³2 +2 1 =4m n m n m n当且仅当n m 1= 即 m =n = 时取“ =” m n 2例5. 已知函数 y =1 +logxmx y（ m >0 且 m ¹1 ）的图像恒过点 M ，若直线 + =1a b（ a >0, b >0 ）经过点 M ，则 a +b 的最小值是多少？1 1解析：由题意得 M （1,1） 则 + =1a b1 1 b aa +b =( + )( a +b ) =2 + + ³2 +2 1 =4 a b a b当且仅当3.部分“1”代换b a= 即 a =b =2 时取“ =” a b例. 若正数 x 、 y 满足 x +y =1 ，求y 4+ 的最小值. x y2ï í 解析：y 4 y 4 y 4 x+ = + ( x +y ) = + +4 ³2 4 +4 =8 x y x y x yy 4 x 1 2当且仅当 = 即 x = y = 时取“ =” x y 3 ， 3二、双换元法1.有两项分母较长例1. 已知正数 x 、 y 满足 x +y =1 ，求4 1+ 的最小值. x +2 y +1解析：令 m =x +2 ， n =y +1则 x +2 +y +1 =m +n =44 1 1 4 1 1 4n m 1 9 + = ( m +n )( + ) = (4 +1 + + ) ³ (5 +2 4) =x +2 y +1 4 m n 4 m n 4 4当且仅当4 n m 1 2= 即 y = ， x = 时取“ =” m n 3 3变式 1. 若 a >0, b >0 ，且1 1+ =1 ，则 a +2b 的最小值为多少？ 2 a +b b +1m -n +1 1 1解析：令 m =2a +b ， n =b +1 可得 a = ， b =n -1， + =12 m nm -n +1 m 3n 3 1 1 m 3n 3a +2b = +2 n -2 = + - =( + )( + ) -2 2 2 2 m n 2 2 2=1 m 3n 1 1 3 1+ + ³ +2 ´ = + 3 2 2 n 2 m 2 2 2 2当且仅当3n m=2m 2n即 m = 3n ， a =3b -b +1 2时取“ =”变式 2. 已知 x >y >0 ，且 x +y £2 ，求2 1+ 的最小值. x +3 y x -y解析：令ìíîx +3 y =m x -y =n可得ì 3n +m x =4m -nïy =î 4由 x >y >0得3n +m m -n>4 4即 m >n >0\ x +y =m +3n m -n 2m +2 n m +n + = = £24 4 4 23í í 2 x +y =n得 m +n £4( m >n >0)\2 1 2 1+ = + x +3 y x -y m n\ (2 1 2 n m+ )( m +n ) =2 +1 + + ³3 +2 2 m n m n2 1 3 +2 2 \ + ³m n m +nQ m +n £4\2 1 3 +2 2 3 +2 2 + ³ ³m n m +n 42 n m 当且仅当 =m n2.有一项分母较长即 m = 2 n 即 m =8 -4 2 ， n =4 2 -4 时取“ =”例. 已知 x、y 为正实数，求y 16 x+ 的最小值. x 2 x +y解析：令ì x =m ì可得î îx =m y =n -2 m\y 16 x n -2 m 16m n 16m+ = + = + -2 ³2 16 -2 =6 x 2 x +y m n m n当且仅当n 16 m=m n即 n =4m 即 y =2 x 时取“ =”三、主元思想法：当要求的元素在条件里出现的时候例1. 已知 x >0 ， y >0 ， xy =x +2 y ，若 xy ³m -2 恒成立，求实数 m 的最大值.解析： xy =x +2 y ³2 x ×2y =2 2 xy两边平方得 ( xy ) 2 ³8 xy ， xy ³8Q xy ³m -2 恒成立 即 m -2 £8 \ m £10 当且仅当 x =2 y 即 x =4 ， y =2 时取“ =”（本题将 xy 作为主元）例2. 若正实数 x、y 满足 2 x +y +6 =xy ，则 xy 的最小值是多少？解析： xy =2 x +y +6 ³2 2 x ×y +6 =2 2 × xy +6令 t =xy >0可得 t 2 ³2 2t +6解得 t £- 2 （舍去） t ³3 2\ xy ³18得 xy 的最小值是 18 当且仅当 y =2 x 即 x =3 ， y =6 时取“ =”4t 2 2 t 2 2 2 2 例3. 已知 x >0 ， y >0 ， x +2 y +2 xy =8 ，求 x +2 y 的最小值.解析：Q x +2 y +2 xy =8 2 xy =x ×2y £( x +2 y ) 42由上面两式得 2 xy =8 -( x +2 y ) £( x +2 y ) 42令 x +2 y =t >02得 8 -t £ 解得 t ³4 即 x +2 y 的最小值为 4 4当且仅当 y =2 x 即 x =3 ， y =6 时取“ =”例 4.已知 x、y 均为正数，且 xy -( x +y ) =1 ，求 x +y 的范围解析： xy =( x +y ) +1 £( x +y ) t ，令 x +y =t >0 ，可得 1 +t £4 4解得 2 -2 2 £t £2 +2 2Q t >0\ 0 0 ， y >0 ，且 ( x +3)( y +1) =12 ，求 x +3 y 的最小值.解析： ( x +3)( y +1) =xy +3 y +x +3 =12 ，即 xy +x +3 y =91 1 ( x +3 y ) xy = ×x×3y =9 -( x +3 y) £ ×3 3 42，令 x +3 y =t >02得 9 -t £ 解得 t ³6 即 x +3 y 的最小值为 6 12当且仅当 3 y =x 即 x =3 ， y =1 时取“ =”四、拼凑法1.项数拼凑例 1.求函数 y =3 x +162 +x2的最小值.解析： y =3( x2+2) +16x +2-6 ³2 3 ´16 =8 3 -6当且仅当 3( x +2) =x16+2即 x =4 3 -63，时取“ =”52 2 2 2 2 22 2 变式 1. 求函数 y =2 x +16x +2在 x Î( -2, +¥)上的最小值.解析： y =2( x +2) +1。