《空间角探究性问题的向量法求解策略》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间角探究性问题的向量法求解策略（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用向量法探究点的位置立体几何中空间角的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力，是命题的热点因此，对于常见的探究方法的总结是必不可少的 一、 探究两条异面直线所成的角【例1】 如图1,已知正方形ABCL口矩形ACE所在平面互相 垂直，AB=2 AF=1,试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成 的角是 60，并加以证明.分析：设AP=x(0KxW2),利用PF与BC所成的角是60来构 建以 x 为元的方程，再解x 就确定了点 P 的位置 .图1解：.正方形ABC丽矩形ACEFJf在的平面互相垂直，. AFX AC AF，平面 ABCD.又 AB=2,AF=
2、1,AC=2,设 AP=x(0 x 2),以A为坐标原点，直线AB AD AF分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0) ，B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,0,1),P(2x2,2x2 ,0)，BC=(0,2,0),PF=(-22 x,-22 x,1). 要使PF与BC所成角是60 ,只需使|BC?PF|BC|?|PF| =cos60,所以x2?x2+1 = 12,1=1,所以当点P是线段AC的中点时， PF与BC所成的角为60 .二、探究直线与平面所成的角图2【例2】 如图2,在三棱锥A-BCD中，侧面ABD ACD全等的 直角三角形，AD是公共的斜边，
3、且AD=3,BD=CD=保一个侧面是正三 角形，在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD角30 ,若存 在，确定 E 的位置；若不存在，请说明理由 .分析：在AC上任取一点E,使CE=x(0Kx2),利用ED与面 BCDJf成的角为30来构建方程，再求x.解：以D为坐标原点，以直线DB DC分别为x轴、y轴的正方向，以过 D与平面BCDB直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0) ， E(22x,1,22x),DE=(22x,1， 22x),又平面BCD勺一个法向量为a=(0,0,1),要使ED与面BCD角 30，只需使 DE与 n 成 60 ,只需使 |DE?n|DE|?|
4、n|=cos60 ,即22xx2+1=12,.x=1,当CE=1时,ED与面BCD 30 角.三、探究二面角【例 3】 如图 3,在长方体 ABCD-A1B1C1D1, AD=AA1 = 1,AB=2, 点E在卞SAB上移动，当AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为兀 4 .分析：设AE=x(0KxW2),利用二面角D1-EC-D的平面角的大 小为兀4来构建以x为元的方程，再求解x,就确定AE的值了.图3解：ABCD-A1B1C1端长方体，AD=A1A=,1 AB=2,以 D为坐标 原点，分别以直线DA DC DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，建立 空间直角坐标系，则AE=x(0 x2)
5、,则 D(0,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),E(1,x,0),.CE=(1,x-2,0),CD1=(0,-2,1).设平面D1EC勺一个法向量为n=(a,b,c),由 n?CE=0 n?CD1=0得 a+b(x-2)=0 ,2b-c=0.令b=1,则c=2, a=2-x, n=(2-x,1,2). 又平面的一个法向量为DD1=(0,0,1),要使二面角D1-EC-D的大小为兀4 ,只需使|DE?n|DE|?|n产cos兀 4 , . 21 x (x-2)2+5 =22， x=2-3,x=2+3 (舍去),所以当AE= 2-3时，二面角D1-EC-D大小为兀4 .对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法， 假设求解的结果存在， 寻找使这个结论成立的充分条件， 运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题来解决. 对于立体几何的探索性问题最适合用空间向量的方法，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中把“是否存在的问题”转化为“点的坐标”是否有解、“是否有规定范围内”有解的问题，使问题得到简单、有效地解决.( 金 铃)内容仅供参考
