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1、Wuhan Institute of Technology高等数学论文论文题目：级数敛散性判别方法的归纳院 系：电气信息学院专 业：电子信息工程时间：2013年5月摘 要：无穷级数是高等数学中的一个重要组成部分，它是研究函数、 进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很 多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛 散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全 面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散引言： 在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指 定的判别方法进行解题
2、，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完， 再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性 ， 拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是 先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费 了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所 学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱 .所以在讲解完常数 项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列 u ,形如nu + u HF u 1 2 n称为无穷级数(常简称级数)，用为u表示。无穷级
3、数的前n项之和，记为nn=1s =tu 二 u + U FF un n 12nn=1称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数的部分和数列 s 收敛于s.则称无穷级数为u收敛，若级数的部分和发散则称级数工v发nnnn=1散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1若级数工u和工v都收敛，则对任意的常数C和d,级数工(cu dv )nnn F n亦收敛，且工(cu du ) =c工u +d工vn F nnn定理 2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变 它的和。定理4级数
4、收敛的充要条件是：任给 0,总存在自然数N,使得当m“和任意的自然数p，都有u +u + + uVem+1m+2m+p以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中， 仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是 本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二. 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部 分和数列 S 有界，即存在某正整数M,对一切正整数n有s VM。从基本定理 nn 出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法1比较判别法设工u和工v是两个正项级数，如果存在某正数N,对一切
5、nN都有 nnu 0）.nvn ln nnn=1n=2证明：因为 Ov艺a 2 0）.n ln nnn=2例2 证明：级数艺（-l）sin-（Vx丰0）都是条件收敛的。nn=1证：不妨设 x0，则 3 N 0，当 nN 时,0 0,且 sin xx n 2 nn为单调递减数列，且limsin =0。ns n由莱布尼茨判别法知另（-1） sin - （V丰0）收敛。n而当 n N 时，x(-l)n sin n=sin X 0,nxsinlim =1xns _n又兰兰发散，由比较判别法知艺 nnn=1n=1所以Vx丰0，级数另(-l)sin - (Vx丰0)都是条件收敛的。nn=1例3证明级数弘-
6、(1 +卜| +存收敛n =1证：0 a =ne-(1 +1 + - + 丄)收敛。n =1根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。2柯西判别法(根式判别法)设工u为正项级数，且存在某正整数N及正常数l, (i)若对一切n N , n00成立不等式丁 N，成立不等式nn0n” 1则级数工U发散。* nn例1 判别级数工巴的敛散性。2n解：因为limu = lim =丄 N，成立不等式Un+i N ,0un0n成立不等式 1则级数工u发散。unn例1 判别级数工S 的敛散性。nnu3+i(n +1)! nn33 .解：因为 lim n+i = lim-= li
7、mi一= 1UnT8 (n + 1)n+1 3n n! nT8 ( + _)”en所以由比式判别法知级数工U发散。nn4积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象 来判断正项级数的敛散性。设f为1, +)上非负减函数，那么正项级数工f (n)与反常积分Jf (x)dx1同时收敛或同时发散。例1 判别级数兰n=31n(lnn)p(lnln n)q的敛散性。解：设 f(x)=1n(ln n) p (ln ln n) q，则f(x)在3, + J上非负递减。若p = 1，这时有卜 dx =卜du =3 x(lnx)p(lnlnx)qlnln3uq1 1 1)+ (q
8、 1时级数收敛；当小q 03 x(lnx)p(lnlnx)qlnln3e(p-1)uuq时，取t1，有limut -=0 即该积分收敛。当p -1 N ,n00成立不等式n(1 -仃) r 1,则级数工u收敛。(ii)若对一切n N，成立 un不等式n(1 -h) 0)的敛散性。解： 因为lim n(1 - Un+1) =lim nUnsn1-(n +1)!(x +1)( x + 2)(x + n +1)(x +1)(x + 2) (x + n)n!nx=lim= xn8 x + n + 1所以由拉贝判别法知，当小x1时级数收敛；当小x 1时，级数工u收敛;nIn(丄) 对于正项级数工U，如果
9、存在limUn-nn* ln n当q1ln n因此有对数判别法可知级数艺a =艺 5-Inn+(-1)I 收敛。n=2n=27双比值判别法对于正项级数工u，如果存在limZn = lim红+i = p，则当p 2时级数工un发散。例1判别级数艺nn的敛散性。n2n=1证明：因为lim2n= limnsln(2n)(2n)2n2ln n11= 42(n + 1)n+1(n + 1)!en+1有 limnsa(2n)2nn!en2n = liman* (2n)!e2n nn(2n)2 nen*2 兀nnne - nlim-.n8 nne2 n.*2兀(2n)(2n)2 ne-2 na ，即 nn
10、+1n!en所以级数迟竺发散。n!enn=18高斯判别法设工a是严格正项级数，并设上一=九+上+ V +。( 1 )，则关于级数 nan n ln nn ln nn +1工a的敛散性，有以下结论：n(i)如果九1,那么级数工a收敛；如果九1，那么级数工a收敛；如果九=1，卩1，那么级数工a收敛；如果九=卩=1， u 1，那n么级数工a发散。n例Gauss超几何级数1+ u Q+1）Q+n 1）卩（卩+1）（卩+n 1）xn的敛 n!y （丫 +1）（7 + 2）（Y + n -1）n=1散性，其中均U,卩,Y,咒为非负常数。1 y解：因为上 =（n+1）（y+n）1 =丿Q+卷）丄a+1 Q+n）（0+n）x （1+u）a+P）xnn又因为（1 + ）-1=1- + o（丄），（1 + ）-1=1- + o（丄），nn n 2nn n2a 11+Y - 1所以 =（1+ o （）。a xnn 2n+1根据高斯判别法可以判别：如果x +卩，那么级数收敛。如果x1;或者x=1, 7 +卩，那么级数发散。三. 总结总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路，以及在此基础上对新的证明 方法的探讨，从不同的数学知识思维角度，给出了调和级数发散的八种证明方
