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1、线性代数一补考模拟卷答案 线性代数一2023年下半年补考模拟题答案 一、填空题每题3分，共18分 x1. 用行列式性质计算：yx?yxx?yxy= . yx?y解：考察知识点：行列式性质，包括最常见的初等变换初等行变换3种，哪3种？对行列式变化有何影响？ xyx?yyx?yx11x?yxy(1)2(x?y)2(x?y)2(x?y)yx?yx?yxxy?(2)1yx?y1x?yx1x y?2(x?y) (3)?2(x?y)0x0?yxx?y?2(x?y)?y?x1x?y?x?2(x?y)(?x2?xy?y2)-2(x3?y3)其中：1将第二、三行加到第一行； 2提出第一行的公因子； 3将第一行依
2、次乘以-y,-(x+y),分别加到第三行和第四行。 注意：行列式的性质非常重要，一定要纯熟掌握，灵敏应用。 2. 排列123456789的逆序数为 0 . 解：一定要理解记住逆序数的定义。按顺序来，从第一个元素到最后一个元素，都拿它与后面的元素进展比拟，结果进展累计。 第一个元素为1，后面的元素均比它大，故有0个逆序； 第二个元素为2，后面的元素都比它大，同样有0个逆序； 依此类推。 得出每个元素，与其后面的元素进展比拟，都没有逆序出现，故逆序数为 0+0+0=0 3. 向量?1-4,2,1?,?2?(0,1,6),?3?(8,9,?10)， 那么?1?2?2?(?2?3)?2= 。 T解：考
3、察向量的四那么运算 ?8-?1?2?2?(?2?3T)?2-4,2,1-2(0,1,6)?(0,1,6)?9-)(0,1,6)-10-? -4,0,?11-(?51)(0,1,6)-4,0,?11-(0,51,306)?(4,?51,?317)4. 设A-?01-?15?，B-, 那么 ?10-310?AB? ； A2n?1? 。其中n为自然数。 解：考察矩阵间的乘积运算和幂运算。直接根据定义计算即可 ?310? AB-?，-15?在求幂方时，由于指数是抽象的，所以必须找出规律， ?10?因为A2-?=I2为单位矩阵，那么由单位矩阵性质知对?矩阵P,那么PI?P 01-?A3?A,A4?A2?
4、I. 所以，得出规律当幂指数为偶数时，那么结果其实就是单位矩阵，当为奇数时，结?01?果就是A本身，故A2n?1-?. ?10? 5. 设n阶矩阵A非奇异(n?2)，A是A的伴随矩阵，那么(A)? 。 *解： A*?AA?1?(A*)*?AA?1(AA?1)?1?(A)n 假设这样看起来比拟复杂，那么可以令A*?AA?1?B (A*)*?B*?BB?1?AA?1(AA?1)?1 11*A?(A)n?2AAA那么有： 11?(A)*A?(A)n?2AAAn 结果其实是一样的，只是看起来容易理解一点。 6. 设?1,?2,-,?s是非齐次线性方程组Ax?b的解，k1?1?k2?2-?ks?s 也是
5、 Ax?b的解，那么k1,k2,?,ks应满足的关系为k1?k2-?ks? 。 解：由题目条件得有A?i?b,i?1,2,.,s，要使得k1?1?k2?2-?ks?s也是解，那么应该有：A(k1?1?k2?2-?ks?s)?b，而我们知， A(k1?1?k2?2-?ks?s)?k1A?1?k2A?2?.?ksA?s?(k1?k2-?ks)b?b 因此，要求k1?k2-?ks?1 二、选择题每题3分，共27分 1. kk?2。 ?0的充分必要条件是Ck?32k?10A、k?1 B、k-6 C、k-6且k?1 D、k-6或k?1 解：直接计算得kk?2?k(2k?10)?(k?2)(k?3)?(k
6、?6)(k?1)?0 k?32k?10?k-6且k?1，选C 2设A,B,A?B以及A?1?B?1均为n阶可逆矩阵，那么(A?1?B?1)?1等于C A、A?1?B?1 B、A?B C、A(A?B)?1B D、(A?B)?1 解：考察矩阵的逆运算。A的逆必须满足AA?1?A?1*A?I，(A?1)?1?A。 选项A中，(A?1?B?1)(A?1?B?1)?(A?1?B?1)2不会恒等于I； 选项B中 (A?B)(A?1?B?1)?AA?1?BA?1?AB?1?BB?1?2I?BA?1?AB?1，不恒等于I；同理运算D，不是答案；选项C中，设A(A?B)?1B的逆为P，要证P即为A?1?B?1，
7、 (A(A?B)?1B)P?I?(A?B)?1BP?A?1?BP?(A?B)A?1?P?B?1(A?B)A?1?B?1AA?1?B?1BA?1?B?1?A?1 ?(A(A?B)?1B)(A?1?B?1)?I，即(A?1?B?1)?1为A(A?B)?1B，选C 3. 设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC?I，其中I是n阶单位矩阵，那么必有D。 A、ACB?I B、CBA?I C、 BAC?I D、 BCA?I 解：同样考察矩阵，包括逆矩阵、矩阵乘积等运算。由于ABC?I，一般我们有PP?1?P?1P?I，因此题目我们可以得出有以下两种结果： (AB)C?C(AB)?I A(BC)?(BC)A?I
8、将与之四个选项比照，明显选D。 4. P,Q为n阶正交矩阵，那么以下为错误的选项是A A、Q?1 B、PQ也为正交矩阵 ?1T?1C、Q?Q D、Q?Q 解：考察正交矩阵的性质，看教材P188： 由性质1和正交矩阵行列式值有两种可能，1或-1，故A错； 由性质3知PQ也为正交矩阵，故B正确； 由性质2知QT?Q?1，而我们知Q?QT?Q?1，因此C项与D项均正确，答案选A。 5. 以下所指明的各向量组中,( B )中的向量组是线性无关的. A.向量组中含有零向量 B.任何一个向量都不能被其余向量线性表出 C.存在一个向量可以被其余向量线性表出 D.向量组的向量个数大于向量的维数 解： 考察线性
9、相关和无关的性质。 首先，零向量与任何向量都是线性相关的，因此线性无关的向理组中不可能有零向量，A错； 定理3.7，教材P132，向量组线性相关充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合，即至少有一个向量可以由其余向量线性表出见P124定义3.5,其逆否认题为：任何一个向量都不能被其余向量线性表出那么是线性无关，B正确； C中是使得定理3.5线性相关成立的条件，故错误； D中，向量组的维数即等于向量组的秩，即是其极大无关组所含向量的个数，假设向量组的向量个数大于向量的维数，说明极大无关组不是向量组本身，而只是其子集，说明向量组线性相关，D错误，选择B。 6.以下表达中，错误的有 C A、
10、假设向量?与?正交，那么对于任意实数a,b,a?与b?也正交 B、假设向量?与向量?1，?2都正交，那么?与?1，?2的任一线性组合也正交 C、假设向量?与?正交，那么?与?中至少有一个零向量 D、假设向量?与任意同维向量正交，那么?是零向量 解： 对于A，因?T-0，那么(a?T)(b?)?ab(?T?)?0 TTTTT对于B，因?1)-k1?1-k2?2-k10?k20?0 -0，?2-0，那么(k1?1T?k2?2对于C，设-(1,0)T,-(0,1)T,那么?T-0，但是?与?均为非零向量，C错。 对于D，设-(x1,x2,，xn)T,?1?(1,0,0，0)T,那么?T?1?x1?0
11、，同理可证 x2?x3?xn?0，故?是零向量。选C。 7. 设A,B为n阶矩阵，且A,B相似，那么以下错误的选项是C A、r(A)?r(B)； B、A?B； C、A,B有一样的特征向量； D、A,B有一样的特征多项式，从而有一样的特征值。 解：考察相似的定义及相关性质，教材P117 相似矩阵有一样的特征多项式，有一样的特征值，有一样的秩，有一样的行列式值，但不一定有一样的特征向量，因此，明显选C。 8. 假设A是m?n矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b所对应的导出组，那么以下结论正确的是D A、假设Ax?0仅有零解，那么Ax?b有惟一解； B、假设Ax?0有非零解，那么Ax?b有无穷多个解； C、假设Ax?b有无穷多个解，那么Ax?0仅有零解； D、假设Ax?b有无穷多个解，那么Ax?0有非零解。 解：考察Ax?0与Ax?b之间的关系，请参看教材第三章第五节。 同时要注意到Ax?0有解时,Ax?b未必有解. 因为Ax?b解的形式为：一个特解+ Ax?0的根底解系，当然它也可以无解； 假设Ax?0仅有零解，等价于Ax?0只有唯一解，即根底解系就为零，因此 Ax?b要么无解，要么解的形式：一个特解+0即唯一解，因此A错； 第 页 共 页
