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1、幂函数及函数零点 - 幂函数、函数与方程 一、要点回忆： 1.幂函数的定义： 要求掌握y?x，y?x2，y?x3，y?x1/2，y?x?1这五 个常用幂函数的图象.并画出图象。 2.观察出幂函数的共性，总结如下： 1当-0时，图象过定点 ；在(0,-)上是 函数. 2当-0时，图象过定点 ；在(0,-)上是 函数； 在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3幂函数y?x的图象，在第一象限内，直线x?1的右侧，图象由下至上，指数? . y轴和直线x?1之间，图象由上至下，指数? . 3.方程f(x)?0有实根?函数y?f(x)的图像与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。 4.零点定理：
2、假如函数y?f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0， 那么，函数y?f(x)在区间a,b内有零点，即存在ca,b,使得f(c)?0，这个c也就是 方程f(x)?0的根 。 函数模型：几类函数模型及其增长差异 1几类函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式 ? f(x)?ax?b(a,b为常数,a?0) f(x)?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0) f(x)?bax?c(a,b,c为常数，a?0且a?1) f(x)?blogax?c(a,b,c,为常数a?0且a?1) f(x)?axn?b
3、(a,b为常数，a?0) 2、解函数应用问题的步骤四步八字 1审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； 2建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 3求模：求解数学模型，得出数学结论； 4复原：将数学问题复原为实际问题的意义.。 二、例题分析p ： 例1、函数y?(m2?m?1)xm22?2m?1是幂函数，求此函数的解析式 练：假设函数f(x)?(a?9a?19)x a?9是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式 例2、1方程lgx?x?3的解所在区间为 A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,-) -x?
4、x?4?，x?0,f?x-?x?x?4?，x?0. 那么函数f?x?的零点是 2、函数例3、假设函数y?f(x)在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，那么以下说法正确的选项是 A假设f(a)f(b)?0，不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0； B假设f(a)f(b)?0，存在且只存在一个实数c?(a,b)使得f(c)?0；C假设f(a)f(b)?0，有可能存在实数c?(a,b)使得f(c)?0；D假设f(a)f(b)?0，有可能不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0； ?1?练：设函数y?x与y-2?3x?2的图像交点为?x0,y0?，那么x0所在的区间是 A?0,1? B. ?1,
5、2? C?2,3? D. ?3,4? 例3、某地西红柿从2月1日起开场上市，通过市场调查，得到西红柿种植本钱Q(单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如右表： 1根椐上表数据，从以下函数中选取一个函数描绘西红柿种植本钱Q与上市时间t的变化关： t2Q?at?b；Q?at?bt?c；Q?a?b；Q?a?logbt。 y-C?2利用你选取的函数，求西红柿种植本钱最低时的上市天数及最低种植本钱。 练：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况 由微机记录后显示出的图象如右图所示，现给出下面说法： 前5分钟温度增加的速度越来越快； 前5分钟温度增加的速度越来越慢；O 5t?分
6、? 5分钟以后温度保持匀速增加； 5分钟以后温度保持不变。其中正确的说法是_。 作业： 1以下函数中既是偶函数又是(-,0)上是增函数的是 Ay?x 4332?14By?x ?Cy?x ?2Dy?x 2假如幂函数f(x)?x的图象经过点(2,2)，那么f(4)的值等于 . 2 A. 16 B. 2 C. 11 D. 1623函数f(x)?1?2x?6的零点一定位于区间 x A、3,4 B、2,3 C、1,2 D、5,6 4函数f(x)?x2?2x的零点个数是 、3个 、2个 、1个 、0个 5某学生分开家去学校，一开场跑步前进，跑累了再走余下的路程，以下图中，y表示离校的间隔 ，x表示出发后的
7、时间，那么较符合学生走法的是 yyyyA 6今有一组实验数据如下： OxOxBOx 4.0 7.5 COx 5.1 12 D t v 1.99 1.5 3.0 4.04 6.12 18.01 现准备用以下函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最好的一个是 2Av?log2t Bv?log1t Cv?t?1 Dv?2t?2 227题 7假设幂函数y?x?在第一象限内的图象如下图，那么?的取值可能为 ( ) 1A1 B2 C3 D. 28设T11，T?1?，那么以下关系式正确的选项是 ( ) -2?，T?15223232313AT1bcd Bdbca Cdcba Dbcda 10设函数f(
8、x)?x?2零点为x0,那么x0所在的区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 11函数f(x)?log2x?2x?1的零点必落在区间 ?A.-,? 11?84?3abcd12x x ?B.-,? 11?42? ?C.-,1? 1?2? D.(1,2) 12函数f?x-e?x?2的零点所在的一个区间是 A-2,?1? B-1,0? C?0,1? D?1,2? 13函数f(x)-?4x?4， x1，?x?4x?3，x?12的图象和函数g(x)?log2x的图象的交点个数是 A4 B3 C2 D1 14设m，k为整数，方程mx?kx?2?0在区间0,1内有两个不同的根，
9、那么m+k的最小值为 A-8 B8 (C)12 (D) 13 215对于任意实数x，函数f(x)满足f(x)f(x)假设f(x)有2 009个零点，那么这2 009个零点之和为_ 16函数y?f(x)和y?g(x)在?2,2的图象如下所示： 给出以下四个命题： 方程fg(x)?0有且仅有6个根 方程gf(x)?0有且仅有3个根 方程ff(x)?0有且仅有5个根 方程gg(x)?0有且仅有4个根 其中正确的命题是 将所有正确的命题序号填在横线上. 17定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)-f(x),且在区间0,2上是增函数,假设方程f(x)?m(m0)在区间-8,8?上有四个不同的根x1
10、,x2,x3,x4,那么x1?x2?x3?x4?_. -8 ?2x?2?,18函数f(x)-x假设关于x 的方程f(x)?k有两个不同的实根，那么数k的取值范围是_ ?(x?1)3,x?2?219直线y1与曲线y?x?x?a有四个交点，那么a的取值范围是 。 |x2?1|20(2022天津)函数y?的图象与函数y?kx?2的图象恰有两个交点,那么实数k的取值范围是_ x?121函数f-log2?x1?，x0，(x)?2假设函数g(x)-x2x，x0，?f(x)?m有3个零点,那么实数m的取值范围是_ 1,求满足f(log1x)0的x2922定义在R上的偶函数y?f(x)在-?,0?上递增，函数
11、f(x)的一个零点为?的取值集合 23函数f(x)?27?xm且f(4)-(1)求m的值；(2)求f(x)的单调区间 x2224二次函数f(x)?x?(2t?1)x?1?2t，1求证：对任意t?R，方程f(x)?1必有实数根；2假设113?t?，求证：方程f(x)?0在区间-1,0及0，上各有一个实根； 22425某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 第 页 共 页
