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1、课时跟踪检测（五十一） 抛物线A级基础题基稳才能楼高1(2019石家庄模拟)抛物线y2x2的准线方程是()Ax BxCy Dy解析：选D抛物线y2x2的标准方程为x2y，其准线方程为y.2已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x解析：选D由题意知双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线C的方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线C的方程为y24x.故选D.3(2019齐齐哈尔一模)若抛物线x24y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n()A BC3D4解析： 选D抛物线x24y的准线方程为y1，根
2、据抛物线的定义可知，5n1，得n4，故选D.4(2019衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点已知抛物线y24x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A. BC D解析：选B将y1代入y24x可得x，即A.由题可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k，故选B.5(2019珠海模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且
3、在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|4，则直线AF的倾斜角等于()A. B.C. D.解析：选B由抛物线y24x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x1，由抛物线定义可知|PA|PF|4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(1，2)，所以kAF，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.6(2019江苏高邮模拟)抛物线y2x的焦点坐标是_解析：由于抛物线y22px的焦点坐标为，因此抛物线y2x的焦点坐标为.答案：B级保分题准做快做达标1(2019武汉调研)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，若|NF|4，
4、则M到直线NF的距离为()A. B2C3 D2解析：选B直线MF的斜率为，MNl，NMF60，又|MF|MN|，且|NF|4，NMF是边长为4的等边三角形，M到直线NF的距离为2.故选B.2(2019长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A相离 B相切C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心解析：选B设圆心为M，过点A，B，M分别作准线 l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，|AB|BB1|AA1|，|MM1|AB|，即圆心M到准线l的
5、距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切3(2019河南中原名校质检)已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|MN|，则点F到MN的距离为()A. B1C. D2解析：选B由题可知|MF|2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d|NF|，因为|NF|MN|，所以cosNMF，所以sinNMF，所以点F到MN的距离为|MF|sinNMF21，故选B.4(2019辽宁五校协作体模考)抛物线x24y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则AHF的面积是()A4 B
6、3C4 D8解析：选C由抛物线的定义可得|AF|AH|，直线AF的斜率为，直线AF的倾斜角为30，AH垂直于准线，FAH 60，故AHF为等边三角形设A，m0，由|AF|AH|，得1，解得m2，故等边AHF的边长|AH|4，AHF的面积是44sin 604.故选C.5(2019邯郸质检)已知抛物线y22px(p0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若，则实数为()A BC2D3解析：选C把点A代入抛物线的方程得22p，解得p2，所以抛物线的方程为y24x，则B(1,0)，设M，则，由，得解得2或1(舍去)，故选C.6(2019辽宁葫芦岛期中)已知直线l：xya0与
7、抛物线x24y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|，则a()A1 B1C2 D2解析：选D直线l的方程为xya0，直线l的倾斜角为60，直线l与抛物线x24y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，且|MN|，|PQ|sin 608.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，得得x24x4a0，由0得a3，x1x24，x1x24a，|PQ|8，即4816a16，a2，故选D.7(2019华大新高考质检)已知抛物线C：y24x，点D(2,0)，E(4,0)，M是抛物线C上异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND并
8、分别延长交抛物线C 于点P，Q，连接PQ，若直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，则()A4 B3C2 D1解析：选C设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为xy2，代入抛物线C：y24x，整理得y2y80，所以y1y38，即y3，从而x3，故P，同理可得Q，因为M，E，N三点共线，所以，得y1y216，所以k2，k1，所以2.故选C.8(2019辽宁五校联考)抛物线C：y24x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则MNF的面积为()A BC D3解析：选C如图所示，不妨设点N在第
9、二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|EF|EN|，又E在抛物线C上，所以ENl，E，所以N(1，)，M(0，2)，所以|NF|，|NM|，所以MNF的面积为，故选C.9(2019河南百校联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|MF|(O为坐标原点)，则()A BCD解析：选A不妨设M(m，)(m0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|MF|，所以解得m，p2，所以，所以2.故选A.10(2019石家庄毕业班摸底)若抛物线y24x上有一条长度为10的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离为_解析：设
10、抛物线的焦点为F，准线为l：x1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离d，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为514.答案：411(2018北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_解析：由题知直线l的方程为x1，则直线与抛物线的交点为(1，2)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为4，所以44，即a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)答案：(1,0)12(2019广州海珠区一模)已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线y21的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|3，则直线AF的
11、斜率为_解析：双曲线y21的右焦点为(2,0)，抛物线方程为y28x，|AF|3，xA23，得xA1，代入抛物线方程可得yA2.点A在第一象限，A(1，2)，直线AF的斜率为2.答案：213(2019唐山五校摸底)过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_.解析：法一：设直线AB的倾斜角为，分别过A，B作准线l的垂线AA，BB，垂足分别为A，B，则|AA|6，|BB|3，过点B作AA的垂线BC，垂足为C，则|AC|3，|BC|6，BAC，所以sin ，所以|AB|9，解得p4.法二：设直线AB的倾斜角为，不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，则|A
12、F|，|BF|，则有2，解得cos ，又|AF|6，所以p4.法三：由结论，得，解得p4.答案：414(2019武汉调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，则A，B处的切线斜率的乘积为，点N在以AB为直径的
13、圆上，ANBN，1，p2.(2)易得直线AN：yy1(xx1)，直线BN：yy2(xx2)，联立，得结合式，解得即N(pk，1)|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，则SABN|AB|d2，当k0时，取等号，ABN的面积的最小值为4，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.15(2019贵阳摸底)过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|8.(1)求直线l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线的定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1)(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，又E(1,0)，kEBkED，y2(x11)y1(x21)y2y1(y1y2)(y1y2)(y1y
