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1、初中数学竞赛精品原则教程及练习（16）整数一种分类一、内容提纲1 余数定义：在等式AmBr中，假如A、B是整数，m是正整数，r为不大于m非负整数，那么咱们称r是A 除以m余数。即：在整数集合中被除数除数商余数 (0余数除数)例如：13，0，1，9除以5余数分别是3，0，4，1（15（1）4。95（2）1。）2 显然，整数除以正整数m ,它余数只有m种。例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。3 整数一种分类：按整数除以正整数m余数，分为m类，称为按模m分类。例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作2k,2k1（k为整数）m=3时，分为三类，记作3k,3k+1,3k+
2、2. 或3k,3k+1，3k1其中3k1表达除以3余2。m=5时，分为五类，5k.5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 或5k,5k1,5k2，其中5k2表达除以5余3。4 余数性质：整数按某个模m分类，它余数有可加，可乘，可乘方运算规律。举例如下：（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数112） （4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余数133）（5k2）225k220k+4=5(5k24k)+4（余数224）以上等式可论述为： 两个整数除以3都余1，则它们和除以3必余2。 两个整数除以4，分别余1和3，则它们积除以4必余3。 假如整数除以5
3、，余数是2或3，那么它平方数除以5，余数必是4或9。余数乘方，涉及一切正整多次幂。如：17除以5余2 176除以5余数是4 （2664）5 运用整数分类解题时，它关鍵是对的选用模m。二、例题例1. 今天是星期日，99天后是星期几？分析：一星期是7天，选用模m=7，求99除以7余数解：99（72）9，它余数与29余数相似，29（23）383（71）3它余数与13相似，99天后是星期一。又解：设A表达A除以7余数，99（72）92983（71）3131例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9余数。分析：设法把幂底数化为9kr形式解：43 n+1443n=4(43)n=4（64）n4(971)n
4、 (971)n除以9余数是1n=143 n+1 除以9余数是4。例3. 求证三个连续整数立方和是9倍数解：设三个连续整数为n1,n,n+1M=(n1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数n按模3，分为三类讨论。当n=3k （k为整数，下同）时，M33k(3k)2+2=9k(9k2+2)当n=3k+1时，M3（3k+1）(3k+1)2+23（3k+1）(9k2+6k+3)=9(3k+1)(3k2+2k+1)当n=3k+2时，M3（3k+2）(3k+2)2+23（3k+2）(9k2+12k+6)9(3k+2)(3k2+4k+2)对任意整数n，M都是9倍数。例4. 求证：方程x23y2=
5、17没有整数解证明：设整数x按模3分类讨论，当x3k时，（3k）23y2=17， 3(3k2y2)=17当x=3k1时，（3k1）23y2=17 3(3k22ky2)=16由左边整数是3倍数，而右边17和16都不是3倍数，上述等式都不能成立，因而，方程x23y2=17没有整数解例5. 求证：无论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除证明：把n按模5分类讨论， 当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1当n=5k1 时，n2+n+1（5k1）25k1125k210k+1+5k115（5k22kk）21当n=5k2时，n2+n+1（5k2）25k2125k220k+
6、4+5k215（5k24k+k+1）2综上所述，无论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除又证：n2+n+1n(n+1)+1 n(n+1)是两个连续整数积，其个位数只能是0，2，6n2+n+1个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。三、练习161. 已知a=3k+1，b=3k+2，c=3k (a,b,c,k都是整数)填写表中各数除以3余数。a+ba+cabac2a2ba2b2b3b5a+b)5 2. 3767余数是3今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？4已知m,n都是正整数，求证：3nm(n2+2)5. 已知a是奇数但不是3倍数，求证：24（a21）（提醒a可表达为除
7、以6余1或5，即a=6k1）一二三四五123487659101112161514136 把正整数按表中规律排下去，问100将排在哪一列？答：7 已知正整数n不是4倍数求证：1n2n3n4n是10倍数8. 任给5个整数，必能从中找到3个，其和能被10整除，这是为什么？9对任意两个整数，它们和、差、积中至少有一种是3倍数，试阐明理由。10任意10个整数中，必有两个,它们差是9倍数。这是为什么？假如改为任意n1个，则必有两个,它们差是n倍数，试阐明理由。11.证明x2+y2-8z=6没有整数解 12.从1开始正整数依次写下去，直到第198位为止即那么这个数用9除之，余数是练习16参照答案：2. 1
8、3. 日 4. 设n=3k， 3k+1， 3k-1讨论 6. 100除以8余数为4，故在第五列7. 可列表阐明n=4k+3,4k+2,4k+1,4k时，其和均为08.整数除以3，余数只有0，1，2三种，按5个整数除以3余数各种状况讨论10. 整数除以9余数只有9类，而10个11.x2+y2=8z+6，右边除以8，余数 是6，左边整数x,y按除以4余数，分为4类，4k,4k+1,4k+2,4k1,则x2+y2除以8余数12. 6袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄
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10、艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇
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12、莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈
13、膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂
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