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1、例谈含二次根式的函数值域的常用求法?数学教学通讯)2005年12月(下半月)(总第241期)重庆?87?例谈含二次根式的函数值域的常用求法(江西省金溪县第一中学344800)郑蔚文求合有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题銎,它的形式多种多样,求法也灵活多变,几乎涵盖了所有的函数值域的求法,正因它含有二次根式,因而求有关此类值域时,也就有它独特的一面,现介绍几类此题的方法,以飧读者.一,利用根本函数的值域法有些含有二次根式的函数结构并不复杂,可以通过函数中的根本函数的值域直接观察出函数的值域.仞1求函数=,i+/,的值域,解由三.,得函数定义域.,s将=,i+/,平方,得y25+z;s+
2、z=霹.0,53,.?.根式内的二次函数一(x-5).+警Eo,譬,即.5l0.叉y>o,.,.而.函数的值域为/5,/lo.例2求函数:的值域,+3解:函数:一2(1一_)0z3z3.o,.一号<2.?.函数值域为一了4,2)劬可化为=qz?.o,.o,解得一詈<2.-.函数的值域为一号,2)二,利用函数的单调性法考虑用函数单调性法求值域常见的有形如Yax+b+(口,b,c,d均为常数,且4co)的函数,假设n与c同号时,可用单调性求值域.,所以在=1时,/)取极小值.当o,厂)f(D=o,所以寺+寺.练习5:假设2一32一一,那么实数,Y满足的关系式为,(答案:+yO)解
3、:设厂)=2一3,那么厂)在R上是增函数,由2.一3一2一,一3,得+yo.练习6:(1)实数4>b>,其中e是自然对数,证明:<6d.证明:因为4>b>e.a<扩,所以等价于blna<alnb,即明lna<一,考虑函数厂)=,尸)=L<o>).所以厂)一ln_一_5_x在(e,+oo)是减函数,问题解决.(2)实数1<4<b,证明:4<一1.证明:因为1<4<b,n<6t一所以等价于(61)lna<(口一1)lnb.即证明<.联想到斜率公式,上式可以写成lnalnl,lnblnln一1
4、,b一1设函数厂);lnx,数形结合知五>五(其中C(1.O),A(口,Ina).B(b,laB),l可题解决.通过设立辅助函数,进一步加强了与未知的.联系,从而有利于问题的顺利解决.另外,这种思路引入高考,加强.形如Y=口4-b4-/c4-d(口,6,c,d均为常数,且ncO),假设n与c异号时,可用代数换元.例4求Y=2x4-4/1一的值域解:设t=/1一0,那么=1一t.Y=一2t.4-4t4-2=一2(t1).+4.t0,.Y4.函数值域为(一o.,43.而形如Y:口+b+/c+的函数,采用代数换元就无法解决,这样可根据c.d的值.可令一sinO一tan或广_l号lsec,化成三
5、角形式后,利用三角函数有界性求其值域.例5求Y=+/1一的值域解:.10即一i1.可设=cosO,O,那么Y:cos8+sin=sin(+;)?.).sin(+)_孚,13.Y一1,/2,.函数值域为一1,/2.四,判别式法假设函数Y=,(z)可化为一个系数含有Y的二次方程口().+b(y)x+c()=0,那么口()0时,假设R,那么0,从而确定函数值域,再检验口()=0时,对应的值是否在函数定义域内,以决定n():0的Y值的取舍.例6求Y=2x+4/1+(z一1)的值域.解:函数可化为(y一2x).一1611+(1).=12x.+(4y一32)x+32一Y.=0.R,.=(4y一32).一4
6、12(32一Y.)o,僻得2+2或2一.2.?.函数的值域为(o.,22/-U2+2了,+o.).五,数形结合法.数形结合法就是利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象来求函数的值域.例7求函数y一/2x.一6x-4-9+/2x.一10x+17的值域.解:函数可化为Y=/3).+-_-_._._._._._-_._-_-_一/(z一4)+(z一1)这可看作是动点P(z,)到点A(3,O),B(4,1)的距离之和,从而问题转化为在线y找点到A,B两点距离之和,如图1A,为A关于Y:的对称点,连结B交直线Y=于P点,此时P点到A,B两点的距离最小,=l引一2/5,显然无最大值.函数值域为2/5,+oo).A(0,/DA(3,0c/,o.7.A?/图1图2例9求函数,)=三的值域.解:设=,=_二-,那么函数化为12)+y.11,)=0)由数想形从而原问题转化为:求半圆弧(一2).+y.=1(O)上的点P与定点A(-1,一3)的连线的斜率的取值范围,如图标签:快照
