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1、平方根和立方根中考规定内容基本规定略高规定较高规定平方根、算数平方根理解开方与乘方互为你运算，理解平方根及算术平方根的概念，会用根号表达非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的措施，求某些非负数的平方根立方根理解立方根的概念，会用根号表达数的立方根会用立方运算的措施，求某些数的立方根小故事第一次数学危机之无理数的发现大概公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论当时的毕达哥拉斯学派注重自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为四艺，在其中追求宇宙的和谐规律性她们觉得：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大奉献是证明了勾股定理，但由此也发现了某些直
2、角三角形的斜边不能表达到整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为的直角三角形就是如此这一悖论直接触犯了毕氏学派的主线信条，导致了当时结识上的危机，从而产生了第一次数学危机到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的措施解决了她的解决不可通约量的措施，出目前欧几里得原本第5卷中欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致今天中学几何课本中对相似三角形的解决，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击这表白，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表达，反之却可以由几何量来表达出来
3、，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了危机也表白，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始注重演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！知识点睛一 平方根、算术平方根1、平方根:如果一种数的平方等于，那么这个数叫做的平方根也就是说，若，则就叫做的平方根一种非负数的平方根可用符号表达为“”2、算术平方根：一种正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表达为“”；有一种平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，固然也没有算术平方根（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一种非负数的平方根不
4、一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则3、平方根的计算：求一种非负数的平方根的运算，叫做开平方开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一种数的平方根或算术平方根，以及检查一种数是不是另一种数的平方根或算术平方根二 立方根1、立方根：如果一种数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根。一种数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表达为读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”任何一种数均有立方根，且只有一种立方根。正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为2、立方根的计算：求一种数
5、的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一种数的立方根，以及检查一种数是不是另一种数的立方根平方根与立方根的区别与联系：1、区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，一般省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略（2）被开方数取值范畴不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可觉得任何数（3）平方的成果不同：平方根的成果除0之外，尚有两个互为相反数的成果；而立方根的成果只有一种（4）平方根等于自身的数是0，算术平方根等于它自身的数是0，1，立方根等于它自身的数是0，1，；2、联系：（5）平方根与立方根相等的数是0（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为
6、逆运算例题精讲一、对平方根的定义和性质的考察【例1】 的平方根是（ ）A81 B C3 D【例2】 下列命题中，真命题是（ ）A的平方根是 B的平方根是C D若，则【例3】 判断题：（1）一定是正数 ( )（2）的算术平方根是 ( )（3）若，则 ( )（4）若，则 ( )（5）的平方根是 ( )（6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等 ( )（7）如果一种数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数 ( )（8）没有平方根 ( )（9）如果两个非负数相等，那么她们各自的算术平方根也相等 ( )【例4】 当，的算术平方根是 .【例5】 算术平方根是，则 .【例6】 若一种自然数的一种平方根
7、是，那么比它大的自然数的平方根是 .【巩固】若，则的算术平方根是_【巩固】设是整数，则使为最小正整数的的值是_【例7】 x为什么值时，下列各式故意义？（1）； （2）； （3）；（4） ； （5）； （6）；二、对平方根的计算的考察【例8】 求下列等式中的x：（1）若x2121，则x_； （2）x2169，则x_；（3）若，则x_； （4）若x2，则x_【例9】 求下列各式的值（1） （2）（3） （4）（5） （6）【巩固】求下列各式中x的值（1）； （2）（3） （4）【例10】 设是整数，则使为最小正有理数的的值是_。【巩固】已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）A2B3C4D5【
8、例11】 已知某正数的两个平方根是与，求这个正数【例12】 已知为两个持续整数，且，则_。三、对平方根的非负性的考察【例13】 如果与互为相反数，求的值【例14】 已知，求的平方根【巩固】已知x，y，z满足，求的值一、对立方根的定义和性质的考察【例15】 （1）下列说法中，不对的的是 （ ） A 8的立方根是2 B 的立方根是C 0的立方根是0 D 的立方根是a（2）的立方根是（ ） A B C D （3）某数的立方根是它自身，这样的数有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个（4）下列说法对的的是（ ） 正数均有平方根； 负数均有平方根， 正数均有立方根； 负数均有立方根； A1个 B2个 C
9、3个 D4个（5）若a立方比a大，则a满足（ ） A a0 B 0 a 1 D 以上都不对（6）下列运算中不对的的是（ ） A B C D 【巩固】（1）若x的立方根是4，则x的平方根是_（2）中的x的取值范畴是_，中的x的取值范畴是_（3）27的立方根与的平方根的和是_（4）若则x与y的关系是_（5）如果那么的值是_（6）若则x_（7）若m0，则=_（8）若的立方根是4，则的平方根是_二、对立方根的计算的考察【例16】 求下列等式中的x：（1）若x30729，则x_； （2）x3，则x_；（3）若=，则x_； （4）若x3，则x_【例17】 求下列各式的值（1） （2）（3） （4）（5）
10、（6）（7）【巩固】（1）填表：00000010001110001000000（2）由上你发现了什么规律？用语言论述这个规律（3） 根据你发现的规律填空： 已知，则= ，= ； 已知，则= 【例18】 的相反数是 ；的立方根是 .【例19】 若，则 _.【例20】【例21】 若，求所有也许值三、立方根的综合应用【例22】 平方根等于自身的数是 ，算术平方根等于它自身的数是 ，立方根等于它自身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .【例23】 若与互为相反数，求的立方根【例24】 已知的平方根是2，的立方根是3，求的平方根【例25】 已知，求的值(为正整数).【例26】 已知的平方根是，的立方根是，求的平方根【例27】 已知的负的平方根是，的立方根是，求的平方根. 【例28】 已知，()，且()，求的值.【例29】 是的算术平方根，是的立方根，求的立方根.【例30】 若和互为相反数，求的值.课后作业
