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1、OP(2, 3)初赛复赛甲8090乙868880 9086 882x3x3y mz 1,2y 4z 2一23m3-24简记为概念一：-280 90386 88的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、横排叫做矩阵的行，竖排叫做矩阵的列.名称介绍：上述三个矩阵分别是 2X 1矩阵,2X2矩阵（二阶矩阵），2X3矩阵，注意 行的个数在前。第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换、二阶矩阵1.矩阵的概念P （2, 3）,将P的坐标排成一列，并简记为某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下:矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A
2、= Bo行矩阵：a ii,a 12（仅有一行）aii列矩阵：（仅有一列）a21向量a = (x,y),平面上的点 P (x,y )都可以看成行矩阵x,y或列矩阵规定 所有的平面向量均写成列向量的形式。练习 1：x31. 已知 A, B42A=B ，试求 x, y,z2x2. 设 A， By3mnxy,右 A=B,求 x,y,m,n 的值。2x y m n概念二：由 4 个数 a,b,c,d 排成的正方形数表a b 称为二阶矩阵。 a,b,c,d 称为矩阵的元素。cd零矩阵：所有元素均为 0,即0 0 ，记为0。0010二阶单位矩阵： ，记为E2.01二、二阶矩阵与平面向量的乘法a bxax b
3、yA= ，与向量 的乘积为 A ，即 A3113定义： 规定二阶矩阵ab xcd yax bycx dy练习 2 ：1. (1)2)1 0 x 1- x2.= ，求1 2 y 1 y三、二阶矩阵与线性变换x,也可以表不为y1 .旋转变换问题1: P(x,y )绕原点逆时针旋转180o得到P (x ,y ),称P为P在此旋转变换作用下的象。其结果为xyx 10 x x即x =x = x怎么算出来的？y 01 y y问题2. P (x,y )绕原点逆时针旋转30o得到P (x ,y，试完成以下任务写出象P ;写出这个旋转变换的方程组形式；写出矩阵形式问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转角，其结果
4、又如能2 .反射变换定义：把平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P的线性变换叫做关于直线l的反射。研究：P (x,y )关于x轴的反射变换下的象 P (x ,y )的坐标公式与二阶矩阵。3 .伸缩变换定义：将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的 卜2倍，(k1、k2均不为0),这样的几何变换为 伸缩变换。试分别研究以下问题：.将每个点的横坐标变为原来的.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的 伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.k1倍，纵坐标变为原来的 k2倍的伸缩变换 的坐标公式与二阶矩阵4 .投影变换定义：将平面上每个点 P对应到它在直线l上的投影P (即垂足)，这
5、个变换称为关于直线 l的投影变换。 研究：P (x,y )在x轴上的(正)投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。5 .切变变换定义：将每一点P (x,y)沿着与x轴平行的方向平移 ky个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P (x,y)沿着与y轴平行的方向平移 kx 个单位，称为平行于 y轴的切变变换。研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。练习：Pio 1.2.3.4四、简单应用1 .设矩阵A= 1 0 ,求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。 0 1练习:P13 1.2.3.4.5【第一讲.作业】2 .关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是 3 .在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转12
6、0o的旋转变换对应的二阶矩阵是 4 .如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是5 .平面内的一种线性变换使抛物线y x2的焦点变为直线 y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是 6 .平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点 A,在把A绕原点逆时针旋转180,得到点A2,若存在一种反射变换同样可以使A变为急，则该反射变换对应的二阶矩阵是 7 .P (1, 2)经过平行于y轴的切变变换后变为点R(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为 251 xZ x L 7.设 A, B 2，且 A=B.则 x=2x 1 y x 4 28.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影
7、变换对应的矩阵为-12 -9.在矩阵A对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为2 110.已知点A (2,1), B (2, 3),则向量AB在矩阵11 .向量a在矩阵A5 112 .已知A23的作用下变为与向量0 11对应的线性变换下得到的向量坐标为平行的单位向量，则a =13.已知A14. 一种线性变换对应的矩阵为a b,若A a与Ab的夹角为135,求x.。若点A在该线性变换作用下的像为5, 5),求电A的坐标；解释该线性变换的几何意义。015.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为1 。求点A( 1/5,3 )在该变换作用下的像；圆x2 y2 1上任意一点P(x0,y
8、0)2在该变换作用下的像。答案：1.2.3.R360o 4.5.6.y7. -12x y8.9. (0, 5)10. (2,8)211.2_. 22当22212.1813. x = 2/3 14.(5,y) 15.、数乘平面向量19Xoy。2第二讲线性变换的性质复合变换与二阶矩阵的乘法与平面向量的加法运算1.数乘平面向量：是任意一个实数，则2.平面向量的加法:性质x1y11:设A是一个二阶矩阵,X2V2X1y1X2V2是平面上的任意两个向量,是任意一个实数，则 数乘结合律：A(A(【探究)A A1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。二、直线在线性变换下的图形研究y kX b分别在以下变
9、换下的像所形成的图形。伸缩变换:旋转变换:0 2.32112在2切变变换:特别地：直线0 1x=a关于x轴的投影变换?，性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 （证明见课本P19） 三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。恒等变换:旋转变换:cossinsincos切变变换:反射变换:投影变换：0 0【练习：P27】【应用】作用的向量212试研允函数y 一在旋转变换 _X爽2四、复合变换与二阶矩阵的乘法x 1 .研究任意向量先在旋转变换y2 .二阶矩阵的乘积a1 b1a2定义：设矩阵A=, B=2G d1c2ACai bia
10、2 b2AB=ci diC2 d2【应用】1-110_1 .计算 2121-cos-sinBcossincossin22 作用下得到的新曲线的方程。22J 1R30o ：2 2作用，再经过切变变换1222 ，则A与B的乘积 d2 cos3.求1 在经过切变变换1 0、”:A=,及切变变换2 11 2、:B= 两次变换后的像0 14.设压缩变换旋转变换R90o： B=将两个变换进行复合求向量2_ ,在复合变换下的像；求3在复合变换下的像;在复合变换下单位正方形变成什么图形?2 X5.试研究椭圆3y20.51伸缩变换： 400旋转变换:12 一、“_ ;切变变换:321 2一;反射变换:0 11
11、0;投影变换:0 1五种变换作用下的新曲线方程。进一步研究在，等变换下的新曲线方程。【练习：P35】【第二讲.作业】A.B.C.D.1 .下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是()A.反射变换B.投影变换C.切变变换D.伸缩变换2 .在切变变换：1 0作用下，直线 y=2x-1变为 2 13 .在A= 0.51作用下，直线l变为y=-2x-3,则直线l为 211 0 x2y24 .在对应的线性边变换作用下，椭圆 一 y- 1变为1 0245 .已知平面内矩形区域为x ix2 j (0Wx1W 1,0 Wx2W 2),若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为226.将椭
12、圆 y- 1绕原点顺时针旋转45后得到新的椭圆方程为341 07.在1 0对应的线性边变换作用下，圆（x+1）2+（y+1）2=1变为8.计算:129.向量10.向量11.函数1 ,经过233先逆时针旋转y sin(x2 X 12.椭圆一41 0、,口，两次变换后得到的向量为1 145,再顺时针旋转15o得到的向量为2一）的图像经过301先后经过反射变换0的伸缩变换，和0 1和伸缩变换1 00的反射变换后的函数是10 后得到的曲线方程为0.5求矩阵N。13.已知M =14.分别求出在0.51 0 ,对应的线性边变换作用下，椭圆0 01变换后的方程，并作出图形。15.函数y1 , -先后经过怎样的变换可以得到x答案:1.A2.y=-13.3x-y+3=04.y=-x5.写出相应的矩阵。6.7x2 7y2 2xy 24 07.y=x1 138.9.10.2 1811./ x sin(一2一)32“x12. 一313.14.y=-2x(22 w x w 2)、y=0( 2WxW2)、xy2 115.20-22
