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1、1.4 算法案例重点难点重点:通过案例分析,体会算法思想,纯熟算法设计,进一步理解算法的基本思想,发展有条理的思考和体现能力,提高逻辑思维能力。难点:在分析案例的过程中设计规范合理的算法学习规定 1理解剩余定理的内涵2能运用剩余定理解决“韩信点兵孙子问题”【课堂互动】历史背景:韩信是秦末汉初的出名军事家,据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场,刘邦问韩信有什么措施,不要逐个报数,就能懂得场上士兵的人数。韩信先令士兵排成3列纵队,成果有2人多余;接着她立即下令将队形改为5列纵队,这一改,又多余3人;随后她又下令改为7列纵队,这一次又剩余2人无法成整行。韩信看此情形,立即报告共有士兵2 33
2、3人。众人都愣了,不知韩信用什么措施清点出精确人数的。这个故事与否属实,已无从查考,但这个故事却引出一种出名的数学问题,即闻名世界的“孙子问题”。这种神机妙算,最早出目前国内算经十书之一的孙子算经中,原文是:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰:二十三。”因此人们将这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”。【分析】“孙子问题”相称于求有关x,y,z的不定方程组的正整数解。根据题意,m应当满足三个条件:(1)m被3除后余2,即 (2)m被5除后余3,即(3)m被7除后余2,即在自然数中也许存在满足条件的数,一方面让m=2开始检查条件,若三个条件中有任何一种不满
3、足,则检查下一种数,即m递增1,如此循环下去,始终到m满足三个条件为止。这种解决问题的措施也称为“穷举法”,这种措施在运用计算机解决问题时非常有效,由于计算机最擅长反复机械的操作。【流程图】NYmm+1结束输出m开始1m2【伪代码】m2While Mod(m,3)2或 Mod(m,5)3或 Mod(m,7)2mm+1End WhilePrint m【思考】输出且且开始结束上述算法只能求出最小的满足条件的数,如果规定出10个满足条件的数,程序要做何修改?你能否用数学上最小公倍数的知识分析出解决该问题的措施吗?可以这样考虑:5和7的公倍数中能被3除余2的最小的公倍数是35;3和7的公倍数中能被5除
4、余3的最小的公倍数是63;3和5的公倍数中能被7除余2的最小的公倍数是30;因此满足条件的其中的一种数就应是35+63+30,为128,若减去3,5,7的最小公倍数105得23,23就是满足题目规定的最小的数。你能画出这种算法的流程图吗?【解】算法流程图如所示.典型范例例1 古今中外,许多人致力于圆周率的研究与计算。国内东汉的数学家刘徽运用“割圆术”计算圆的面积及圆周率。“割圆术”被称为千古绝技,它的原理是用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积。具体计算如下:在单位圆内作正六边形,其面积记为A1,边长为a1,在此基本上作圆内接十二边形,面积记为A2,边长为a2,,始终做下去,记该圆的内接正边形面
5、积为,边长为。由于所考虑的是单位圆,计算出的的值即是圆周率的一种近似值,且越大,与圆周率越接近。你能否设计一种算法,计算圆周率的近似值?思路点拨:画图可知,.【解】算法环节如下:Read na1For I From 2 To nAasqrtPrint I,A,aEnd For【追踪训练】1. 是一正整数,对两个正整数,若是的倍数,则称模同余,用符号表达.则中,的取值也许为 ( D )A.11 B.22 C.27 D.322.有一堆围棋子,五个五个地数,最后余下2个;七个七个地数,最后余下3个;九个九个地数,最后余下4个.请设计一种算法,求出这堆棋子至少有多少个.【解】 算法如下:m2While Mod(m,5)2或 Mod(m,7)3或 Mod(m,9)4 mm+1End WhilePrint m3.(李白买酒)无事街上走,提壶去买酒,遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒设计求酒壶中原有多少酒的一种算法并写出伪代码 【解】 算法如下: x0For i from 1 to 3 xx+1 xx/2 End forPrint x4.求方程(其中为自然数)的所有不不小于100的的正整数解.【解】算法如下: y0 x0While x100 x5y+3 Print x yy+1End While