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1、对二次根式的学习心得一、 引入二次根式,是初中数学很基本的学习内容,想必大家对它都不陌生。在学习了一个学期后,大家对它的多种题型都进行了一些训练,已经做得基本熟练了。那么,有没有想过对它的一些内容进行整理归纳呢?我在这里从三个方面:计算、化简求值、比大小,并结合一些例题来讲一下我的心得。二、 简介(一)定义一般地,形如的代数式叫做二次根式,其中,a 叫做被开方数(a可以为某个数,也可以是一个代数式)。当a0时,表示a的算术平方根;当a小于0时,无意义。(二)判断最简二次根式的方法1. 根据最简二次根式的定义进行:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
2、2. 直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数是否都小于根指数2,且被开方数中是否不含有分母,当被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。(三) 性质1.2.3.4.(四) 注意点1. 二次根式具有双重非负性,符号表示为:0,a0。2. 二次根式加减时要注意是同类二次根式相加减。3. 二次根式乘除时要注意是被开方数相乘除。4. 二次根式在计算和化简时要注意正负性和取值范围,如:(1),然后根据正负性去除绝对值符号。(2)在分母或除数上出现字母时,注意其不为0。(3)注意二次根式本身的非负性,当把字母提出去或提进来时,注意字母的正负性。(4)计算时别漏掉初始时提到前面的负号。5.二次根式在化
3、简时注意提出去或提进来时,被开方数乘或除的数是一个完全平方数。6.去根号的常见方法有:(1)自身平方 (2)乘以其有理化因式 (3)换元法7.在计算过程中不要急于化简,也许留在那边,继续往后算,被消掉了。三、 计算(一) 基本计算1. 要点:发现其中暗含的平方差,利用平方差达到简便计算的作用。拓展:某些根号中含根号的式子,如,可以利用完全平方去掉根号2.要点:对于一些看起来复杂的计算,不要一条筋的去通分,要观察题目中隐含的公约数,进行化简。拓展:有时候,添项法也可以使计算得到化简。(这就是因式分解在计算中的应用)3.要点:这个题目乍一看会看不出分子和分母的关系,所以要将其因式分解,易于化简。拓
4、展:实在看不出关系,就用换元法,将常出现的几个量换元,然后通过对字母的观察化简。(二)变化计算1.要点:通过分母有理化使计算得到化简,同时,不要到第二步就不写了(要化到最简二次根式)拓展:这种题有很多变形,不过形变法不变,裂项相消是核心思想。2.要点:通过发现第一个根号下有完全平方,得到对原式的化简,从而易于计算。拓展:有时候,看见根号下套根号就要心中有思路:利用非负性 完全平方去根号四、 化简求值(一)常见类型1.要点:通过关于a的等式变形得到关于a的0值多项式,从而利用长除法解题。拓展:这道题有多种解法,还可以用降次,最后达到消元的效果。2.要点:根据对原式进行化简,根据条件判断正负性。拓
5、展:有时候条件不会明说什么小于什么,而是通过二次根式的被开方数的非负性判断正负。(二)急中生智1.要点:根据对公式的积累, 故列出上述方程。拓展:通过联想公式,再列出方程是很常用的方法,有时候可以设而不求,整体代入得到想要的答案。五、比大小(一)比被开方数法有些简单的二次根式,如和,我们可以把根号外的式子移进去,=,=,易得。(二)比平方法比较,与的大小,我们可以将其都平方,易得0,则ab,反之亦然。如果是两个二次根式相加减,我们可以利用因式分解判断其正负性。(四)比商法这个方法不太常用,因为很有局限性(它需要分类讨论),不过在二次根式中,它大多情况不用分类讨论,因为二次根式的双重非负性。若a
6、/b1,则ab,反之亦然。这个也需要判断其大小,而且还比正负性更难判断,所以这种方法不太推荐。(五)取特殊值法这个方法在有未知数时,在填空选择题中最为适用,常见的取值有0,1,因为这些值易于计算,但是要考虑题目的取值范围,要根据题目的要求确定取值。六、 总结(一)计算1.在做计算题时,要熟练运用乘法公式和因式分解,达到消元、化简的作用。2.在去分母时,有理化因式是一个重要的概念,裂项相消是很常用的方法。3.在做题时,简便计算是上策,先死算后简便是中策,而一心死算则是下策。4.因式分解在二次根式中同样有着很重要的地位。(二)化简求值1.在做化简求值时,要对题目信息进行适当变形,使其与题目有所关联,得到化简的作用。2.对原式正负性的判断也很重要,看见就要引起警觉。3.将某个值提入或提出二次根式时,要注意其正负性,适当添加或去掉负号。(三) 比大小1. 在比大小时,前面所提到的五种方法是很常用的方法,希望大家能够记住它们,并加以运用。2. 其中一些比大小的方法(如作差法),不仅是在二次根式中,更是在所有比大小中都适用。3. 不同的路通向不同的地方,思路是最重要的,但不是局限的,要根据题目来考虑做法。