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1、第二章 函数同步辅导第一讲映射与函数一、辅导内容 1 映射、一一映射的定义和概念的理解2 函数的定义、表达。3 函数的三要素及函数的体现措施。二、重点、难点解说 1映射、一一映射 （1）集合A到集合B的映射有三个要素，即集合A、集合B和相应法则.其中集合A和集合是有先后顺序的，由于一般状况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么，映射的定义未对此作具体规定，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其她对象.f1f2 （2）一种相应要满足下面两个条件才干称为集合A到集合B的映射：集合A中的每一种元素（一种不漏地）在集合B中均有象（但集合B中的每一种元素不一定均有原
2、象）；集合A中的每一种元素在集合B中的象只有唯一的一种（集合B中的元素在集合A中的原象也许不止一种）.也就是说，图1和图2所示的两种相应不能称为映射.AB图1AB图2 （3）对于上述映射，如果加上一种条件，规定集合B中的每一种元素在集合A中均有原象，则这样的映射称为“集合A到集合B上的映射”.如果在此基本上再加上一种条件，规定集合B中的每一种元素在集合A中的原象只有唯一的一种，则这样的映射称为“集合A到集合B上的一一映射”.12345abcdeBA例1 如图3，集合A=1、2、3、4、5，B=、.判断下列相应中，（1）哪些是集合A到集合B的映射；(2)哪些是集合A到集合B上的映射；（3）哪些是
3、集合A到集合B上的一一映射.12345abcdeAB图312345abcdeBA12345abcdeBA解（1）和是集合A到集合B的映射，中集合A的元素3在集合中没有象；中集合A的元素3在集合B中有两个象，它们都不是映射.（2）是集合A到集合B上的映射.中集合B的元素b在集合A中没有原象.（3）是集合A到集合B上的一一映射.例2 已知集合A=，B=.判断下列各相应f与否是集合A到集合B的映射？一一映射？并阐明理由. (1):； (2) :； (3) :； (4) :； (5) :解 （1）， . 因此对集合A的每一种元素， ，因此相应:是集合A到集合B的映射. 对于集合B中的每一种元素，由及，
4、有.即集合B中的每一种元素在集合A中均有原象，且这样的原象只有一种，因此相应:是一一映射. （2）， .因此对于集合A中的每一种元素，在集合B中均有唯一的象，因此相应:是映射. 而集合B中有些元素，如，在集合A中没有原象，因此映射:不是一一映射. （3）， ， .由此知集合A的某些元素，如，在集合B中没有象，因此相应:不是映射，更不是一一映射. （4）， .因此对于集合A中的每一种元素，在集合B中均有唯一的象，因此相应:是映射.由，对于集合B中的每一种元素，即集合B中的每一种元素在集合A中有唯一的原象，因此映射:是一一映射.（5）集合A中的每一种元素在集合B中均有唯一的象.对于集合A中的元素和
5、，都相应于集合B中的同一种元素，因此相应:是映射，但不是一一映射.2. 函 数（1）函数的定义. 在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为老式定义.老式定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，由于有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.固然，两种定义的本质是同样的. 集合A到集合B的映射:要成为函数，还必须满足两个条件：集合A、B都是非空集合；集合A、B都是数的集合.其中集合A就是函数的定义域，而集合B不一定是值域.一般地说，值域
6、C是集合B的子集，即.（若集合，则这个映射就成为集合A到集合B上的映射）.（2）函数的三要素. 定义域A，值域C和定义域A到值域C的相应法则，构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相似时，两个函数才是同一种函数. 在判断两个函数与否同一函数时，重要观测它们的定义域和相应法则与否相似.（3）区间 设、，且.用闭区间表达集合，用开区间表达集合，用半开半闭区间表达集合，用半开半闭区间表达集合.（4）函数的表达法. 函数常用的表达法有：解析法，列表法及图像法，三种表达法各有其长处. 要弄清符号和（为常数）的区别.一般状况下，是一种随自变量的变化而变化的变量，而是当自变量时函数的值，是一种拟定的量
7、. 与初中接触到的函数不同样，这里的函数可以是在不同区间中（或不同条件下）体现式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它也许是某些孤立的点，某些线段，或某些曲线.例3 判断下列各对函数与否是同一种函数，并阐明理由. (1) ， ； (2) ， ； (3) ， ； (4) ， (5) ， ； (6) ， .解 （1）不是同一种函数，两者的定义域不同， 它们的定义域分别为和. （2）不是同一种函数，它们的相应法则和值域都不同. ，其值域为； ，其值域为. （3）不是同一种函数，它们的定义域不同.定义域分别为和. （4）不是同一种函数，它们的定义域不同，定义域分别是和. （5）是同一
8、种函数， . （6）是同一种函数，虽然自变量用不同的字母表达，但定义域、值域和相应法则都相似.例4 已知 ， ，求 和 .解 =. =.评析 由此可见，在求时，只要用替代体现式中的，然后再将的体现式代入其中，就可以求得.一般来说，.(x 0),(x = 0),(x 0),例5 （1）已知 求，；（2）已知 且， 求.解 （1）， . ， . . . (2)当； 当；当 . 例6 （1）画出函数的图像； （2）画出函数的图像； （3）已知函数的图像如右图，写出的解析式.解 （1） 图74 图像如下图左. (2)当,即或时，；当，即时，. 图像如下图右.（3）评析 （1）对于具有绝对值的函数的图像
9、，一般先用零点分区间法得出函数的解析式，然后以分段函数的形式写出函数的解析式，再画出函数的图像.（2）由第（2）题可见，画的图像，只要把的图像在轴下方部分“翻到”轴上方，即作出这一部分图像有关轴的对称曲线，而在轴上方的曲线保持不变，就可以得到函数的图像.（3）函数的定义域如果没有特别阐明，一般指使式子故意义的一切自变量的集合，在实际问题中，还应考虑自变量要满足的实际问题的条件. 我们目前波及到的使式子故意义的状况，仅是分母不能为零，负数不能开偶次方.此后学习了其她函数，还会浮现此外某些状况.例7 求下列函数的定义域： （1） ； （2） ； （3） .解 （1） 定义域为. （2）由 由, ；
10、 由, . 定义域为 . （3） . 定义域为. 评析 对于繁分式，一条分数线即有一种限制条件，本题有三条分数线，因此有三个限制条件. 例8 已知函数的定义域为-1，2，求函数的定义域. 解 由中的必须满足，因此中的必须满足： 即 的定义域为 . 例9 （1）已知，求 ； （2）已知函数 的定义域是 ，且，求； (3)已知 ，求.解 （1）设，则 ， ， .（2）由， 将换成， 得， 32 ，得 ，. (x0)（3）令，则 .例10 设 画出函数的图像.解 由已知，图像如图所示.练 习一、选择题1设是从集合A到集合B的映射，下列四个说法：集合A中的每一种元素在集合B中均有象；集合B中的每一种元
11、素在集合A中均有原象；集合A中不同的元素在集合B中的象也不同；集合B中不同的元素在集合A中的原象也不同，其中对的的是 （ ） A和 B和 C和 D和2已知集合A=，B=，则下列相应关系中，不能当作是从集合A到集合B的映射的是 （ ） A： B： C： D：3下列三个命题：函数是从定义域到值域的一一映射；函数的定义域和值域也许是数集，也也许不是数集；函数的定义域和值域都不能是空集.其中真命题是 （ ） A B C D和4下列各组函数：，；，；，；，.其中和表达同一种函数的是 （ ） A B和 C D5函数的定义域是 （ ） A B C D6已知函数的定义域是，则函数的定义域为 （ ） A B C D二、填空题7已知在映射下的象是，则在
