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1、专题8:定值问题一、选择题二、填空题三、解答题1. (2012江西南昌8分)如图,已知二次函数L1:y=x24x+3与x轴交于AB两点(点A在点B左边),与y轴交于点C(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)研究二次函数L2:y=kx24kx+3k(k0)写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由【答案】解:(1)抛物线,二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,1)。(2)二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:对称轴为x=
2、2;都经过A(1,0),B(3,0)两点。线段EF的长度不会发生变化。直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,kx24kx+3k=8k,k0,x24x+3=8。解得:x1=1,x2=5。EF=x2x1=6。线段EF的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题,二次函数的性质。【分析】(1)抛物线y=ax2+bx+c中:a的值决定了抛物线的开口方向,a0时,抛物线的开口向上;a0时,抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标,可化为顶点式或用公式求解。(2)新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得,因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。联立直线和抛物线L2的解析式,先求出点E、
3、F的坐标,从而可表示出EF的长,若该长度为定值,则线段EF的长不会发生变化。2. (2012江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合.在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中0x2.5. 试求出y关于x的函数关系式,并求出y =3时相应x的值;记DGP的面积为S1,CDG的面积为S2试说明S1S
4、2是常数;当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.【答案】解:(1)CGAP,CGD=PAG,则。GF=4,CD=DA=1,AF=x,GD=3x,AG=4x。,即。y关于x的函数关系式为。当y =3时,解得:x=2.5。(2),为常数。(3)延长PD交AC于点Q.正方形ABCD中,AC为对角线,CAD=45。PQAC,ADQ=45。GDP=ADQ=45。DGP是等腰直角三角形,则GD=GP。,化简得:,解得:。0x2.5,。在RtDGP中,。【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数
5、值。【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由可解出x的值。(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可。(3)延长PD交AC于点Q,然后判断DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在RtDGP中,解直角三角形可得出PD的长度。3. (2012山东潍坊11分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(2,O)、B(2,0)、C(0,l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C、D(0,2)作平行于x轴的直线、 (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以ON为直径的圆与直线相切; (3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两
6、点到直线的距离之和等于线段MN的长【答案】解:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2bxc,则 解得。抛物线对应二次函数的解析式 所以。 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上, ,x22=4(y2+1)。又,。又y2l,ON=2y2。设ON的中点E,分别过点N、E向直线作垂线,垂足为P、F, 则 ,ON=2EF,即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半,以ON为直径的圆与相切。(3)过点M作MHNP交NP于点H,则,又y1=kx1,y2=kx2,(y2y1)2=k2(x2x1)2。MN2=(1+k2)(x2一xl)2。又点M、N既在y=kx的图象上又在抛
7、物线上,即x24kx4=0,x2x1=4k,x2x1=4。MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2) (x2xl)24x2xl =16(1+k2)2。MN=4(1+k2)。延长NP交于点Q,过点M作MS交于点S,则MSNQ=y12y22= MS+NQ=MN,即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,中点坐标的求法,直线与圆相切的条件,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理。【分析】(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。(2)要证以ON为直径的圆与直线相切,只要证ON的中点
8、到直线的距离等于ON长的一半即可。(3)运用一元二次方程根与系数的关系,求出MN和M、N两点到直线的距离之和,相比较即可。4. (2012浙江义乌12分)如图1,已知直线y=kx与抛物线交于点A(3,6)(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;更多内容+q465010203(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D
9、(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足BAE=BED=AOD继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?【答案】解:(1)把点A(3,6)代入y=kx 得;6=3k,即k=2。 y=2x。(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值,理由如下:如图1,过点Q作QGy轴于点G,QHx轴于点H当QH与QM重合时,显然QG与QN重合,此时。当QH与QM不重合时,QNQM,QGQH不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上,MQH=GQN。又QHM=QGN=90,QHMQGN。当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得。线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。(3)如图2,延长AB
10、交x轴于点F,过点F作FCOA于点C,过点A作ARx轴于点R。AOD=BAE,AF=OF。OC=AC=。ARO=FCO=90,AOR=FOC,AORFOC。OF=。点F(,0)。设点B(x,),过点B作BKAR于点K,则AKBARF。,即。解得x1=6,x2=3(舍去)。点B(6,2)。BK=63=3,AK=62=4。AB=5。在ABE与OED中,BAE=BED,ABE+AEB=DEO+AEB。ABE=DEO。BAE=EOD,ABEOED。设OE=x,则AE=x (),由ABEOED得,即。顶点为。如图3,当时,OE=x=,此时E点有1个;当时,任取一个m的值都对应着两个x值,此时E点有2个当
11、时,E点只有1个,当时,E点有2个。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,相似三角形的判定和性质,二次函数的性质。【分析】(1)利用待定系数法求出直线y=kx的解析式,根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。(2)如图1,过点Q作QGy轴于点G,QHx轴于点H,构造相似三角形QHM与QGN,将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比,即为定值需要注意讨论点的位置不同时,这个结论依然成立。(3)由已知条件角的相等关系BAE=BED=AOD,可以得到ABEOED。在相似三角形ABE与OED中,运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度,如图2,可以通过
12、构造相似三角形,或者利用一次函数(直线)的性质求得AB的长度。设OE=x,则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式,这是一个二次函数借助此二次函数图象(如图3),可见m在不同取值范围时,x的取值(即OE的长度,或E点的位置)有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。5. (2012广西玉林、防城港12分)如图,在平面直角坐标系O中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度,匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,
13、Q同时出发,同时停止,设运动时间为t秒,当t=2秒时PQ=.(1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围;(2)连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则AEF的面积S是否随t的变化而变化?若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值.(3)在(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形?【答案】解:(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2,在RtPCQ中,由勾股定理得:PC=4,OC=OP+PC=4+4=8。来源:Zxxk.Com又矩形AOCD,A(0,4),D(8,4)。t的取值范围为:0t4。(2)结论:AEF的面积S不变化。AOC
14、D是矩形,ADOE,AQDEQC。,即,解得CE=。由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4t,则CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=(OA+CF)OC+CFCEOAOE= 4(8t)8+(8t)4(8)。化简得:S=32为定值。所以AEF的面积S不变化,S=32。(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQAF。由PQAF可得:CPQDAF。CP:AD=CQ:DF,即82t:8= t:4t,化简得t212t16=0,解得:t1=6+2,t2=。由(1)可知,0t4,t1=6+2不符合题意,舍去。当t=秒时,四边形APQF是梯形。:Z*xx*k.Com【考点】动点和翻折问题,矩形的性质,勾股定理,翻折对称的性质,相似三角形的判定和性质,梯形的性质,解一元二次方程。【分析】(1)由勾股定理可求PC而得点C的坐标,根据矩形的性质可得点D的坐标。点P到达终点所需时间为82=4秒,点Q到达终点所需时间为41=4秒,由题意可知,t的取值范围为:0t4。(2)根据相似三角形和翻折对称的性质,求出S关于t的函数关系