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1、有理数的乘方及混合运算(基础)撰稿:孙景艳 审稿:赵炜 【学习目标】1理解有理数乘方的定义;2.掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算;3. 进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)即有:.在中,叫做底数, n叫做指数.要点诠释: (1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果 (2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来(3)一个数可以看作这个数本身的一次方例如,5就是51,指数1通常省略不写 要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次幂都是
2、正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即 要点诠释: (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值(2)任何数的偶次幂都是非负数要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释: (1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算; (2)在含有多重括号的混合运算
3、中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行(3)在运算过程中注意运算律的运用【典型例题】类型一、有理数乘方1. 把下列各式写成幂的形式:(1);(2)(-3.7)(-3.7)(-3.7)(-3.7)55;(3)【答案与解析】 (1);(2)(-3.7)(-3.7)(-3.7)(-3.7)55(-3.7)452;(3) 【总结升华】乘方时,当底数是分数、负数时,应加上括号.【高清课堂:有理数的乘方及混合运算 356849 有理数乘方的性质】2计算:(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)【答案与解析】(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8
4、)【总结升华】与不同,而表示的n次幂的相反数举一反三:【变式1】计算:(1)(-4)4 (2)23 (3) (4)(-1.5)2 【答案】 (1)(-4)4=(-4)(-4)(-4)(-4)=256;(2)23222=8; (3) (4) (-1.5)2=(-1.5)(-1.5)=2.25【变式2】比较(-5)3与-53的异同【答案】相同点:它们的结果相同,指数相同;不同点:(-5)3表示-5的3次方,即(-5)(-5)(-5)-125,而-53表示5的3次方的相反数,即-53-(555)因此,它们的底数不同,表示的意义不同类型二、乘方的符号法则3不做运算,判断下列各运算结果的符号(-2)7,
5、(-3)24,(-1.0009)2009,-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断,可得: (-2)7运算的结果是负;(-3)24运算的结果为正;(-1.0009)2009运算的结果是负;运算的结果是正;-(-2)2010运算的结果是负【总结升华】“一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负网Z_X_X_K举一反三:【变式】(南充)计算:(-1)2009的结果是( )A-l B1 C-2009 D2009【答案】A类型三、有理数的混合运算【高清课堂:有理数的乘方及混合运算 3
6、56849 典型例题1】4.计算: (1)(2)(3)(4)【答案与解析】(1)法一:原式;法二:原式= (2)原式(3) 原式=-32-3+66-9=22 (4) 原式【总结升华】有理数的混合运算,确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提举一反三:【变式1】计算: 【答案】原式【变式2】计算:【答案】原式【高清课堂:有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题2(2)】5. ( )(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】逆用分配律可得:,所以答案为:C【总结升华】当几项均为幂的形式,逆用分配律提出共同的因数时,要提指数较小的幂的形式.举一反三:【变式】计算:【答案】类型四、探索
7、规律 6.你见过拉面馆的师傅拉面吗?他们用一根粗的面条,第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条,再把两头捏在一起抻拉,反复数次,就能拉出许多根细面条,如下图,第3次捏合抻拉得到 根面条,第5次捏合抻拉得到 根面条,第次捏合抻拉得到 根面条,要想得到64根细面条,需 次捏合抻拉. 第1次 第2次 第3次【答案】8; 32; ; 6【解析】由题意可知,每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍,所以可得到: 第1次:;第2次:;第3次:;第次:.第3次捏合抻拉得到面条根数:,即8根;第5次得到:,即32根;第次捏合抻拉得到;因为,所以要想得到64根面条,需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是:从所给的特殊情形入手,再经过猜想归纳,从看似杂乱的问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循举一反三:【变式】(2009肇庆)已知212,224,238,2416,2532,观察上面的规律,试猜想22008的末位数字是_【答案】6