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1、三角函数总结及统练一 . 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1.与角终边相同的角的集合S 2k, k Z2.三角函数的定义（六种）三角函数是x 、 y 、 r 三个量的比值3. 三角函数的符号口诀：一正二弦，三切四余弦。4. 三角函数线正弦线 MP=sin余弦线 OM=cos正切线 AT=tan5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系： tancot1sincsc1cossec1口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。6. 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。2k222正弦sinsinsinsinsincoscos余弦coscoscoscoscossinsin正切tantan
2、tantantancotcot余切cotcotcotcotcottantan7. 两角和与差的三角函数sin()sincoscossin)tantansin()sincoscostan(tantansin1cos()coscossinsin)tantancos()coscossintan(tantansin18. 二倍角公式代换：令sin 22 sincoscos22 cos2112sin 2cos2sin 22 tan tan 2 1 tan2sin 21cos22cos21cos2降幂公式2sin1 cos1 cos1coscostan1cos半角公式：22；22；21cossintans
3、in1cos29. 三角函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义RRx | x R且 x k, k Z域2 1,11,1x2k/ 2 时x2k时 ymax1值域R1x2kymax时无最大值最值无最小值x2k/ 2 时ymin1ymin1周期性周期为 2周期为 2周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数 2k,2k在 2k,2k 上都k, k在22是增函数，在在22 内上都是增函数；在 2k,2k都是增函数（ kZ ）单调性3上都是 2k,2k22减函数（ kZ ）k Z ）上都是减函数（10. 函数 yA sin( x) 的图象变换A0,0函数 yAsin(x) 的图象可以通过下
4、列两种方式得到：图象左移横坐标缩短到原来的1 倍（ 1） ysin xy sin( x)ysin(x)纵坐标伸长为原来的 A倍yAsin(x)（ 2） ysin x横坐标缩短到原来的 1 倍ysin( x)图象左移ysin(x)纵坐标伸长为原来的 A倍yAsin(x)（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。4. 角的和与差的相对性如：() 角的倍角与半角的相对性2,2如：2 245. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。6. 数形结合：心中有图，观图解题。7. 等
5、价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。【典型例题】y a sin x bcos xa 2b 2 sin( x), tanb1. 如：a（化成一个角的一个三角函数）ysin xcos x2 sin( x)； y sin x3 cos x 2sin( x)43y3 sin x cos x2sin( x)6 例 1 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？（ 1） f ( x)sin 2x2sin xcosx3cos2 x（ 2） f ( x)sin 2xsin x cos x1解：y22 sin( 2x)2xk(kZ )（ 1）
6、4， ymax2 ，8ymin22 , xk3Z )(k8y32 sin(2x4)ymax32xk3 (kZ )（ 2）22，2，832k(kZ )ymin2x8，2. “ 1”的妙用凑一拆一熟悉下列三角式子的化简12 sincossincos2 sin()41sin1 2sincossin2cos2 sin()222241cos2 sin2 ；1cos2 cos2例2 化简21sin 822 cos8。答案：2 sin 43. 化异为同 例 3 已知 tan2 ，求：sincossin 22（ 1） sincos（ 2） 3 cos2sin 2答案：（ 1）3；（ 2）142 cos2sin
7、 1tan 22 2,2例4已知2，求：sincos答案：3 224.sincos与 sincos 间的相互转化sincost 21（ 1）若 sincos2； sint 21 ； sincos =t ，则2t 2（ 2）若 sincost ，则 sincos12t ； sincos1 2ttancot12sin cossin 2（ 3）例5tancot8化简：8。答案： 22sincos5cossin例6若在第二象限，222，求22 。3答案：25. 互为余角的三角函数相互转化若2，则 sincos； cossinsin(1cos()例73)已知4，则6。1答案： 4sin 40 sin 5
8、0例8求值：cos10。1答案： 2 例 9 求值： sin 18 sin 54。1答案： 46. 公式的变形及活用（ 1） tantantan()1tantanAB(1 tan A)(1 tan B)2（ 2）若4例10 计算 (1tan1 )(1tan 2 )(1 tan 3 )(1 tan 45 )。答案： 223 例 11tan 70tan103 tan 70 tan10。答案：37. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性例12tan1 , tan() 2若3，则 tan。答案： 7例135cos() 7 cos0tantan若22，则22。答案：6 例 14在ABC 中， A 为最小角， C 为最大角，且cos( 2AC )0.8 ， sin B 0.8 ，求cos(2B2C ) 的值。
