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1、 机械能守恒定律的综合运用【典型例题】问题1、单一物体的机械能守恒问题:例1. 是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道,在下端B点与水平直轨道相切,如图所示,一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑,已知圆轨道半径为R,小球的质量为m,不计各处摩擦,求:(1)小球运动到B点时的动能;(2)小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向;(3)小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时,所受轨道支持力各是多大。解析:(1)小球从A滑到B的过程中,只有重力做功,机械能守恒,则。(2)由机械能守恒有。小球速度大小为,速度方向沿圆弧在该点的切线方向向下,如图所示,即图中角。由几何关系知,速度方向与竖直方向的夹角
2、为。(3)由机械能守恒得由牛顿第二定律得由式解得。小球运动到C点,在竖直方向上受力平衡,。答案:(1)。(2),与竖直方向夹角。(3);mg。变式、如图所示,O点离地面高度为H,以O点为圆心,制作四分之一光滑圆弧轨道,小球从与O点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出,试求:(1)小球落地点到O点的水平距离;(2)要使这一距离最大,R应满足何条件?最大距离为多少?解析:(1)小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用,但轨道弹力不做功,即只有重力做功,机械能守恒,可求得小球平抛的初速度。根据机械能守恒定律得设水平距离为s,根据平抛运动规律可得(2)因H为定值,则当时,即时,s最大,最大水平距离。问题2
3、、双物体的机械能守恒问题: 例2. 如图所示,质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点,用轻质细线连接跨过光滑圆柱体,B着地A恰好与圆心等高,若无初速度地释放,则B上升的最大高度为多少?解析:释放后,系统加速运动,当A着地时B恰好达水平直径的左端,此时A、B速度均为,这一过程系统机械能守恒,此后B物体竖直上抛,求出最高点后即可得出结果,下面用机械能守恒定律的三种表达式来求解。(1)用求解。由有,得,B以竖直上抛,则上抛最大高度,故B上升的最大高度为。(2)用求解。对A、B系统,由有,得。同理可得。(3)用求解。对A物体:,对B物体:。由有,则。同理可得。答案:。变式1、如图所示,A物体用板
4、托着,位于离地面处,轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连,绳子处于绷直状态,已知A物体质量,B物体质量,现将板抽走,A将拉动B上升,设A与地面碰后不反弹,B上升过程中不会碰到定滑轮,问:B物体在上升过程中离地的最大高度为多大?(取)解析:在A下降B上升的过程中,A、B组成的系统机械能守恒,由机械能守恒定律得解得代入数据有A着地后,B做竖直上抛运动,竖直上抛能上升的高度为代入数据有B物体上升过程中离地面的最大高度为。答案:。变式2、一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为角的光滑斜面上的物体连接,另一端和套在光滑竖直杆上的物体连接,设定滑轮到竖直杆距离,又知物体由静止从AB连接为水平位置开始下滑时,和受
5、力恰平衡,如上图所示,()求:(1)下滑过程中的最大速度;(2)沿竖直杆能够向下滑的最大距离。解析:(1)、与地组成的系统的机械能守恒,物体由静止开始先做加速度不断减小的加速运动,当加速度减小到0时,速度最大,此时受力平衡,随后,向下做加速度不断增大的减速运动,速度为0时下滑到最大距离,选取AB水平面为重力势能零势能面,设的最大速度为,对从B到C过程,设开始时斜面上绳长为,至C时斜面上绳长为,由机械能守恒定律:设ACB=,则,则,又。再根据、此时受力平衡,可知绳子拉力:,将、代入式,整理得:。(2)设沿竖直杆能够向下滑的最大距离为H,设此时斜面上绳长为,则由机械能守恒定律:,又,代入上式解得。
6、问题3、机械能守恒与圆周运动的综合问题: 例3. 把一个小球用细线悬挂起来,就成为一个摆(如图所示),摆长为l,最大偏角为,小球运动到最低位置时的速度是多大?解析:小球摆动过程中受重力和细线的拉力作用,细线的拉力与小球的运动方向垂直,不做功,所以这个过程中只有重力做功,机械能守恒。小球在最高点作为初状态,如果把最低点的重力势能定为0,在最高点的重力势能就是,而动能为零,即。小球在最低点作为末状态,势能,而动能可以表示为。运动过程中只有重力做功,所以机械能守恒,即。把各个状态下动能、势能的表达式代入,得,由此解出。从得到的表达式可以看出,初状态的角越大,越小,就越大,v也就越大,也就是说,最初把
7、小球拉得越高,它到达最下端时的速度也就越大,这与生活经验是一致的。答案:。变式1、如图所示,用一根长为L的细绳,一端固定在天花板上的O点,另一端系一小球A,在O点的正下方钉一钉子B,当质量为m的小球由水平位置静止释放后,小球运动到最低点时,细线遇到钉子B,小球开始以B为圆心做圆周运动,恰能过B点正上方C,求OB的距离。解析:小球在整个运动过程中,仅受到重力和绳的拉力,而拉力对它不做功,所以在整个运动过程中机械能守恒,小球从释放位置运动到C点的过程中机械能守恒,以过C的水平面为零势能面,设小球在C点的速度为则有:而所以小球在竖直平面内以B为圆心做圆周运动,而且恰能经过C点,即在C点仅由重力提供向
8、心力,所以:由以上各式可得:,则变式2、如图所示,半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内,半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A,一质量m=0.10kg的小球,以初速度在水平地面上向左做加速度的匀减速直线运动,运动后,冲上竖直半圆环,最后小球落在C点,求A、C间的距离()解析:匀减速运动过程中,有。恰好做圆周运动时物体在最高点B满足:,得。假设物体能到达圆环的最高点B,由机械能守恒有,解得。因为,所以小球能通过最高点B。小球从B点做平抛运动,有,解得。答案:1.2m。变式3、如图所示,一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC,其半径,轨道在C处与水平地面相切,在C处放一小物块,给它一水平向左的
9、初速度,结果它沿CBA运动,通过A点,最后落在水平地面上的D点,求C、D间的距离s。取重力加速度。解析:设小物块的质量为m,过A处时的速度为v,由A到D经历的时间为t,有。由式并代入数据得。答案:1m。【模拟试题】 1、如图所示,某人站在阳台上,以的速度把质量为m的小球斜向上抛出,不计空气的阻力,则小球到达空中的B点时的动能为 A. B. C. D. 2、将一球竖直上抛,若该球所受的空气阻力大小不变,则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是 A. , B. , C. , D. , 3、如图所示的装置中,木块M与地面间无摩擦,子弹m以一定的速度沿水平方向射入木块并留在其中,然后,将弹簧压
10、缩至最短,现将木块、子弹、弹簧作为研究对象,从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中系统的 A. 机械能守恒B. 机械能不守恒C. 产生的热能等于子弹动能的减少量D. 弹簧压缩至最短时,动能全部转化成热能 4、一个物体以一定的初速度竖直上抛,不计空气阻力,那么如图中,表示物体的动能随高度h变化的图象A,物体的重力势能随速度v变化的图象B,物体的机械能E随高度h变化的图象C,物体的动能随速度v的变化图象D,可能正确的是 5、以相同大小的初速度将物体从同一水平面分别竖直上抛和斜上抛,沿光滑的足够长的固定斜面的表面上滑,如图所示,三次达到的高度分别为、,空气阻力不计,则下列判断正确的是 A. B.
11、 C. D. 6、某同学身高1.8m,在运动会上他参加跳高比赛,起跳后身体横着越过了1.8m高的横杆,据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取) A. B. C. D. 7、如图所示,将一根长的金属链条拉直放在倾角的光滑斜面上,链条下端与斜面下边缘相齐,由静止释放后,当链条刚好全部脱离斜面时,其速度大小为_。(g取) 8、小钢球质量为m,沿光滑的轨道由静止滑下,轨道形状如图所示,与光滑轨道相接的圆形轨道的半径为R,要使小球沿光滑圆轨道恰能通过最高点,物体应从离轨道最低点多高的地方开始滑下?9、细绳的一端固定,另一端系一质量为m的小球,小球绕细绳的固定点在竖直平面内做圆周运动,绳在最高点和
12、在最低点的拉力差为多大? 10、如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮,一柔软的细线跨过定滑轮,两边分别与A、B连接,A的质量为4m,B的质量为m。开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升。物体A与斜面间无摩擦,设当A沿斜面下滑s距离后,细线突然断了,求物块B上升的最大距离H。【试题答案】 1. B(选B点所在平面为零势能面,则小球在B点只有动能,而在A点处机械能为,由机械能守恒可知,故选项B正确。) 2. C(上升和下降两过程,小球通过的位移大小相等,由受力分析知小球上升过程的加速度大于下降过程的加速度,小球上升的时间应小于下降的时间;
13、小球运动过程中损失的机械能等于克服空气阻力做的功,因为空气阻力大小不变,上升、下降两过程的位移大小相等,所以上、下过程损失的机械能相等。) 3. B (子弹以一定的速度沿水平方向射向木块并留在其中这一过程中,摩擦力对M做的功(M位移小)小于子弹克服摩擦力做的功,机械能减少,机械能不守恒,子弹减少的动能一部分转化为热能,另一部分转化成M的动能和弹簧的势能,然后,将弹簧压缩至最短这一过程中只有系统内弹力做功,机械能守恒,但全过程机械能不守恒,从子弹射向木块直至弹簧被压缩至最短,动能一部分转化成热能,另一部分转化成势能。应选B。) 4. A、B、C、D(以一定初速度竖直上抛的物体,不计空气阻力,机械
14、能守恒,因此C选项正确,由机械能守恒定律可得,所以A选项正确,由公式可知B选项正确,又因为,所以D选项正确。) 5. D(由于在三种情况下,均只有重力对物体做功,因此物体的机械能守恒,竖直上抛运动,物体在最高点时的速度为零,选取抛出点为零势能参考面,则物体在初状态的机械能为,末状态的机械能为,由机械能守恒定律,可得,。对于斜上抛运动,物体到达最高点时速度不为零,设为,则由机械能守恒定律可得,对于沿光滑斜面向上滑动的物体,到达最高点时物体的速度为零,因此有,故答案应选D。) 6. B(设该同学的重心在其身体的中点上,把他看成质点,他上升的最大高度是,根据机械能守恒,即,所以最接近。) 7. (取水平面为参考平面,根据机械能守恒定律有,解得