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1、精选优质文档-倾情为你奉上网络的稳定性、无源性和耗散性目录专心-专注-专业网络的稳定性、无源性和耗散性第1章 概述稳定是系统能够正常运行的前提必要条件。论文介绍了非线性系统平衡点Lyapunov稳定性分析理论，包括各种稳定形式的严格数学定义、稳定性判别定理。另外，从映射或算子的角度给出了非线性系统输入输出稳定性的定义与判别方法。无源性的概念是与实际系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。它把系统Lyapunov稳定性和稳定性联系在一起，为分析非线性系统平衡点处Lyapunov稳定性和系统输入输出稳定性提供了方便直观的工具。论文介绍了无源性定义和条件。将无源性的概念扩展，即可引入与系
2、统性能准则相关的系统耗散性的概念，这为分析非线性系统抗扰性能提供了有力工具。论文对耗散性概念、条件和意义进行了阐述。论文还表明了三者之间的关系。第2章 网络的稳定性对于实际工程中的动态系统来讲，稳定性是最基本的要求。对于非线性系统的稳定性分析，存在许多不同类型的稳定性问题1。例如，Lyapunov稳定性无外部信号激励的情况下，系统的状态能够从任意的初始点回到自身所固有的平衡状态的特性。因此，也称为平衡点的Lyapunov稳定性。输入-输出稳定性和输入-状态稳定性在有界的外部信号激励下，系统的输出和状态响应能够停留在有界的范围内的稳定特性，输入-输出稳定性也叫有界输入有界输出(BIBO)稳定性。
3、对于线性系统来讲，平衡点的Lyapunov稳定性和输入-状态(或输出)稳定性实际上是等价的，但是对于一般的非线性系统则不然。下面1-3节讨论平衡点的Lyapunov稳定性，4-6节讨论输入-状态(或输出)稳定性。2.1 系统平衡点稳定性定义2.1.1 自治系统平衡点稳定性考虑如下所描述的非线性自治系统：(2-1)式中，为状态变量；是关于局部Lipschitz的；是系统初始条件。假设为包含点的域，且为式系统的一个平衡点，即。根据微分方程理论可知，在是关于局部Lipschitz的条件下，对于任意初始条件，式系统的解在上有定义且是连续的。以后的讨论中，除非特别声明，均假设系统满足上述解的存在性条件。
4、需指出，这里只讨论平衡点在坐标原点的稳定性问题。这是不失一般性的。因为任何平衡点均可通过坐标变量变换而移到原点，如，则令，那么，就有，平衡点为。为此，对于式系统有如下的一些平衡点稳定性定义。定义2.1（Lyapunov稳定性）如果对于任意给定的，存在一个常数，使得对任意满足的初始条件，式系统的解满足(2-2)则称式系统在平衡点处是Lyapunov稳定的，简称稳定。定义2.2（渐近稳定性）如果式系统的平衡点是稳定的，且选取使得(2-3)或等价地，存在和，使得，则称式系统在平衡点处是渐近稳定的。定义2.3（指数稳定性）如果存在常数，使得对任意满足的初始条件，式系统的解满足(2-4)则称式系统在平衡
5、点处是指数稳定的。定义2.4（不稳定）如果对于某一个，不管多么小，至少存在一个，使得时，式系统的解有(2-5)则称式系统在平衡点处是不稳定的。注2.1 由上述定义可以知道，一个系统在平衡点处如果是指数稳定的，就一定是渐近稳定的、Lyapunov稳定的，如果是渐近稳定的就一定是Lyapunov稳定的；但反之，若是Lyapunov稳定的，不一定是渐近稳定的，是渐近稳定的，不一定是指数稳定的。注2.2 对于非线性系统，还要注意局部稳定性和全局稳定性的概念。局部稳定性是指对于，性能成立。而全局稳定性是指，性能均成立。注2.3 对于线性定常系统，渐近稳定性总是全局的和指数稳定的，不稳定总是隐含指数发散的
6、。只有非线性系统才区别渐近稳定性、指数稳定性、全局稳定和局部稳定。线性系统的局部稳定性和全局稳定性是一致的，因为线性系统只有一个平衡点，平衡点的稳定性，即是系统的全局稳定性。2.1.2 时变系统平衡点稳定性考虑非线性时变系统(2-6)式中，为状态变量；为时间变量；是的分段连续函数，且关于在上局部Lipschitz，是包含原点的域。，即是平衡点。同样，也只研究平衡点在原点的情况。如果平衡点不在原点，可以通过坐标变换将其移到原点。例如，假设系统的解为，通过坐标变换，系统变换为因此，原点是系统在时的一个平衡点，可以通过判别被变换系统在原点的稳定性能，来确定原系统解的稳定性能。对于任意初始条件，式系统
7、的解在上有定义且是连续的。非自治系统平衡点处的稳定性概念与上面介绍的自治系统的稳定性概念基本相同，不同的是自治系统的解仅依赖于，而非自治系统的解既依赖于，又依赖于。因此，对于非自治系统，各种稳定性的定义需要修改，而且需要更详细的划分。定义2.5（Lyapunov稳定性和一致Lyapunov稳定性）如果对于任意给定的及初始时刻，存在一个常数，使得对任意满足的初始条件，式系统的解满足(2-7)则称平衡点是Lyapunov稳定的。如果在上述定义中，而与无关，则称平衡点是一致Lyapunov稳定的。如果式对任意成立，则称平衡点是全局稳定的。定义2.6（渐近稳定性和一致渐近稳定性）如果式系统的平衡点是稳
8、定的，且存在使得(2-8)则称平衡点是渐近稳定的。如果平衡点是渐近稳定的，且存在的与无关，则称平衡点是一致渐近稳定的。如果平衡点是一致稳定的，且对于每对正数和，存在，使得(2-9)则称平衡点是全局一致渐近稳定的。定义2.7（指数稳定性）若式系统在平衡点是渐近稳定的，且存在正数和，使得下式成立：(2-10)则称平衡点是指数稳定的。如果式对任意成立，则称平衡点全局指数稳定。需指出，时变系统平衡点的指数稳定即为一致指数稳定。2.2 平衡点稳定性判别方法第2.1节给出了系统平衡点各种稳定性的定义，平衡点的稳定性是可以根据这些定义来判别的，但是直接由定义进行系统稳定性判别，有时候是很困难的，因此，控制理
9、论发展了平衡点稳定性判别方法。2.2.1 自治系统平衡点稳定性判据1. Lyapunov稳定性定理定理2.1 对于式系统，令是平衡点，是包含的域，是连续可微函数。如果在内，有(1)，且，即在内是正定函数；(2),即是半负定函数。则系统在平衡点处是Lyapunov稳定的。2. 渐近稳定性定理定理2.2 对于式系统，令是平衡点，是包含的域，是连续可微函数。如果在内，有(1)，且，即在内是正定函数；(2),且即是负定函数。则系统在平衡点处是渐近稳定的。定理2.3 （全局渐近稳定）对于式系统，令是平衡点，是连续可微函数。如果(1)，；(2),。则系统在平衡点处是全局渐近稳定的。3. 指数稳定性定理定理
10、2.4 对于式系统，令是平衡点，是包含的域。如果存在连续函数，常数，使得对任意的，有(1)；(2)。则系统在平衡点处是局部指数稳定的。如果对于任意的，条件（1）、（2）都成立，则平衡点是全局指数稳定的。4. 不稳定定理定理2.5 对于式系统，令是平衡点，是包含的域。若存在连续可微函数，有，并且对于在原点的任意小邻域内（很小）有。同时，定义集合，在域内。则此时系统在平衡点是不稳定的。5. 线性定常系统稳定性判别现在考虑自治系统的特例线性定常系统的情况。线性定常系统描述为(2-11)其中，是非奇异阵。式系统有唯一的平衡点。则平衡点的稳定性可由如下定理判别。定理2.6 对于式系统，平衡点是渐近稳定的
11、充要条件是矩阵的所有特征根满足，即矩阵为Hurwitz矩阵。而矩阵特征根均为负实部，当且仅当对任意给定的正定对称阵，存在满足如下Lyapunov方程的对称正定阵，而且，如果阵是稳定阵，那么，是方程的唯一解。(2-12)6. 非线性系统的线性化考虑式非线性系统，其中，是连续可微的函数，包含在中，且是平衡点，。由中值定理有(2-13)其中，是连接与原点的线段上的一点。由于，则(2-14)所以有(2-15)其中，。函数满足不等式，由于的连续性，有当时，。这意味着在原点的很小的邻域内，非线性系统可以用它的关于原点的线性化来近似表示，则在原点的稳定性可以用其近似方程中矩阵来判别。进而有下面的Lyapun
12、ov间接定理。定理2.7 对于式系统，是平衡点，连续可微，是原点的一个邻域。令，则(1)如果的所有特征根均为负实部，原点是渐近稳定的。(2)如果的特征根有一个或多个，原点是不稳定的。注2.4 定理2.7并未给出对于所有的特征根，对于一些特征根的情况的结论，在这种情况下，用线性化不能确定原点的稳定性。2.2.2 时变系统平衡点稳定性判别本节将讨论式时变系统的平衡点是稳定或渐近稳定的条件。注意，与自治系统相比，时变系统的稳定性分析增加了一致性的概念。设是原点的一个邻域，是初始时刻。定理2.8 （Lyapunov稳定定理）对于式系统，若存在连续可微的正定函数，并且沿式系统的轨迹对的导数(2-16)是
13、连续半负定的，则是该系统稳定的平衡点。若是正定且渐小的，即存在正定函数，使得，则平衡点是一致Lyapunov稳定的。定理2.9 （渐近稳定定理）对于式系统，若存在连续可微函数，和连续正定函数，使得和沿式系统的任意轨迹的时间导数满足(1)(2)则是该系统的一致渐近稳定的平衡点。如果，是径向无界，则是该系统的全局一致渐近稳定的平衡点。定理2.10 对于式系统，若是系统的Lyapunov函数，且满足(1)；(2)。其中，为给定常数，则零解是指数稳定的。2.3 Lyapunov函数的构造方法以下是一些实际中常采用的函数构造方法。1. 线性定常系统：取，解，求出，由的正定性判别系统稳定性。因此，函数构造
14、为。2. 线性时变系统：取，解，求出，由连续、对称、正定判别系统稳定性。因此，函数构造为。3. 非线性自治系统：(1)Jacobian矩阵法先计算Jacobian矩阵，选取，为对称正定阵，则的时间导数为令，则给定，求出，由的正定性判别系统稳定性。特例，则，是克拉索夫斯基法。(2)变量梯度法由，其中，若选取使得为负，同时满足旋度方程，则在此条件下求得2.4 稳定性一般将非线性系统的动态过程描述为如下的状态空间表达式形式：(2-17)式中，为该系统的内部状态；为系统外部输入信号；为系统输出信号。在考虑外部输入信号作用下系统的输出响应特性分析时，可以采用输入输出法来建模非线性系统，就像可以采用传递函
15、数这种外部描述法来建模线性系统一样。即非线性系统输入-输出之间关系被描述为如下形式：(2-18)其中，代表某种映射或算子，指定了输入和输出之间的关系。下面研究工程系统的品质特性，即从映射或算子的角度给出非线性系统输入输出稳定性的定义与判别方法。1. 稳定性定义定义2.8 考虑式非线性系统，其中算子。如果存在定义在上的函数和一个非负常数，使得对任意，有(2-19)成立，则称算子是稳定的。其中表示向量空间的范数。定义2.9 考虑式非线性系统，其中算子。如果存在非负常数和，使得对任意，有(2-20)成立，则称算子是有限增益稳定的。注2.5 如果，是一致有界信号的空间，则稳定性即为有界输入有界输出稳定性。显然BIBO稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的。由于范数的等价性，表征BIBO稳定的定义不局限于空间或-范数。实际上，只要输入信号在某种范数意义下有界时，输出信号也
