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1、神奇的圆锥曲线动态结构168杭州学军中学闻杰神奇的圆锥曲线动态结构目录一、神奇曲线，定义统一01距离和差，轨迹椭双02距离定比，三线统一二、过焦半径，相关问题03切线焦径，准线作法04焦点切线，射影是圆05焦半径圆，切于大圆06焦点弦圆，准线定位07焦三角形，内心轨迹三、焦点之弦，相关问题08焦点半径，倒和定值09正交焦弦，倒和定值10焦弦中垂，焦交定长11焦弦投影，连线截中12焦弦长轴，三点共线13对焦连线，互相垂直14相交焦弦，轨迹准线15相交焦弦，角分垂直16定点交弦，轨迹直线17焦弦直线，中轴分比18对偶焦弦，比和定值四、相交之弦，蝴蝶特征19横点交弦，竖之蝴蝶20纵点交弦，横之蝴蝶2
2、1蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22主轴分割，等比中项23定点割线，倒和两倍24定点割线，内外定积25主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26焦点之弦，张角相等27定点之弦，张角仍等28对称之点，三点共线29焦点切点，张角相等30倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31动弦中点，斜积定值32切线半径，斜积仍定33动弦中垂，范围特定34定向中点，轨迹直径35定点中点，轨迹同型八、向量内积，定值问题36焦弦张角，内积定值37存在定点，内积仍定九、其它重要性质38光线反射，路径过焦39切线中割，切弦平行40直周之角，斜过定点41正交半径，斜切定圆42直径端点，斜积定值43垂弦端点，
3、交轨对偶44准线动点，斜率等差45焦点切线，距离等比46共轭点对，距离等积47正交中点，连线定点48顶点切圆，切线交准49平行焦径，交点轨迹50内接内圆，切线永保51切线正交，顶点轨迹52斜率定值，弦过定点53直线动点，切弦定点54与圆四交，叉连互补55交弦积比，平行方等56补弦外圆，切于同点57、焦点切长，张角相等58斜率积定，连线过定59切点连线，恒过定点60.焦点准线，斜率等差161.焦点准线，斜率等差21距离和差，轨迹椭双实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆。定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线。定直线（无穷
4、大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线。问题探究1已知动点在圆A：上运动，定点，则（1）线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？（2）若，直线过点与直线的交于点，且，则点的轨迹又是什么？2距离定比，三线统一实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线。问题探究2已知定点，定直线：，动点在直线上，过点且与垂直的直线上有一动点P，满足，请讨论点P的轨迹类型。3切线焦径，准线作法
5、实验成果动态课件椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线 双曲线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线。 问题探究3已知两定点，动点满足条件，另一动点Q满足，求动点Q的轨迹方程。4焦点切线，射影是圆实验成果动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆。焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆。焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）。问题探究4已知两定点，动点满足条件，动点Q满足，求动点Q的轨迹方程
6、。5焦半径圆，切于大圆实验成果动态课件以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆（简称“大圆”）与椭圆内切，）相切以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆（此圆（简称“小圆”）与双曲线外切）相切。以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷大（实为顶点处的切线）与曲线外切）相切 问题探究51已知动点P在椭圆上，F为椭圆之焦点，探究是否为定值2已知点P在双曲线上，F为双曲线之焦点，探究是否为定值6焦点弦圆，准线定位实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交。抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切。 问题探究6过抛物线上不同两点A、B分别
7、作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.7焦三角形，内心轨迹实验成果动态课件椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过双曲线实顶点的两条平行且垂直于实轴的开线段(长为2b)抛物线焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原抛物线焦点为顶点的抛物线问题探究71已知动点P在椭圆上，为椭圆之左右焦点，点为的内心，试求点的轨迹方程。2已知动点P在双曲线上，为双曲线之左右焦点，圆是的内切圆，探究圆是否过定点，并证明之。8焦点半径，倒和定值实验成果动态课件
8、椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数问题探究8已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，是否存在实常数，使恒成立。并由此求的最小值。（借用柯西不等式）9正交焦弦，倒和定值实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数。双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数问题探究9已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，且，是否存在实常数，使恒成立。并由此求四边形面积的最小值和最大值。10焦弦中垂，焦交定长实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB的中
9、垂线与长轴的交点为D，则与之比是离心率的一半。设双曲线焦点弦AB的中垂线与焦点所在轴的交点为D，则与之比是离心率的一半设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴的交点为D，则与之比是离心率的一半。问题探究10已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，中垂线交轴于点D，是否存在实常数，使恒成立。11焦弦投影，连线截中实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段。双曲线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段。抛物线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端
10、点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段。问题探究11已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，直线交轴于点G，点在直线上的射影分别是，设直线的交点为D，是否存在实常数，使恒成立。12焦弦长轴，三点共线实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B与长轴顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线双曲线焦点弦端点A、B与实轴顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线抛物线焦点弦端点A、B与顶点D（D在无穷远处）连线与准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线 问题探究12已知椭圆，为椭圆之左焦点
11、，过点的直线交椭圆于A，B两点， 分别为椭圆的左右顶点，动点满足试探究点的轨迹。13对焦连线，互相垂直实验成果动态课件椭圆左焦点弦端点A、B与右顶点D连线AD，BD交相应准线于点N、M，则 双曲线左焦点弦端点A、B与右顶点D连线AD，BD交相应准线于点N、M，则抛物线焦点弦端点A、B与顶点D（无穷远处）连线交相应准线于点N、M，则 问题探究13已知双曲线，为双曲线之左焦点，过点的直线交双曲线于A，B两点， 分别为双曲线的左右顶点，动点满足动点满足试探究是否为定值。14相交焦弦，轨迹准线实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），因为当焦
12、点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 问题探究14已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，直线，直线AD交直线于点P，试判断点P、B、C是否三点共线，并证明之。15相交焦弦，角分垂直实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦AB，CD端点所在直线AD和BC交点P必在准线上且交点P与焦点的连线平分角双曲线的任意两焦点弦 AB，CD端点所在直线AD和BC交点P必在准线上且交点P与焦点的连线平分角抛物线的任意两焦点弦 AB，CD端点所在直线AC和BD交点P必在准线上且交点P与焦点的连线
13、平分角 问题探究15已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，直线，直线AD交直线于点P，试证明。16定点交弦，轨迹直线实验成果动态课件过椭圆长轴直线上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线。过双曲线实轴直线上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线。过抛物线对称轴上任意一定点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线问题探究16已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证明点P的轨迹为直线，17焦弦直线，中轴分比实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值。双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值。过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值。 问题探究17已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，设直线AB与轴于点，试求的值。18对偶焦弦，比和定值实验成果动态课件过椭圆上任一点A作两焦点的焦点弦AC和AB，其共线向量模的比之和为定值即。过双曲线上任一点A作两焦点的焦点弦AC和AB，其共线向量模的比之和
