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1、高中数学北师大版一轮复习 第十章 第3节相关性、最小二乘估计与统计案例第3节相关性、最小二乘估计与统计案例最新考纲1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.理解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.理解独立性检验(只要求22列联表)的根本思想、方法及其简单应用；4.理解回归分析p 的根本思想、方法及其简单应用.知 识 梳 理1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看，点分布在从左下角到
2、右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.2.回归分析p 对具有相关关系的两个变量进展统计分析p 的方法叫回归分析p .其根本步骤是：()画散点图；()求回归直线方程；()用回归直线方程作预报.(1)回归直线：假如散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线.(2)回归直线方程的求法最小二乘法.设具有线性相关关系的两个变量，y的一组观察值为(i，yi)(i1，2，n)，那么回归直线方程yab的系数为：称为样本点的中心.(3)相关系数当r0时，说明两个变量正相关；当r0时
3、，说明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1，说明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0，说明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.3.独立性检验(1)设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2A1；变量B：B1，B2B1.22列联表BAB1B2总计A1ababA2cdcd总计acbdabcd构造一个随机变量2eq f(nadbc2,abcdacbd)，其中nabcd为样本容量.(2)独立性检验利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验.(3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进展
4、判断当22.706时，没有充分的证据断定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；当22.706时，有90的把握断定变量A，B有关联；当23.841时，有95的把握断定变量A，B有关联；当26.635时，有99的把握断定变量A，B有关联.微点提醒1.求解回归方程的关键是确定回归系数eq o(a,sup6)，eq o(b,sup6)，应充分利用回归直线过样本中心点(eq o(,sup6()，eq o(y,sup6().2.根据2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，假设2越大，那么两分类变量有关的把握越大.3.根据回归方程计算的eq o(y,sup6)值，仅是一个预报值，不是真实发生的
5、值.基 础 自 测1.判断以下结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“名师出高徒”可以解释为老师的教学程度与学生的程度成正相关关系.()(2)通过回归直线方程yba可以估计预报变量的取值和变化趋势.()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进展相关性检验.()(4)事件，Y关系越亲密，那么由观测数据计算得到的2值越大.()答案(1)(2)(3)(4)2.(选修23P87问题提出)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用以下哪种方法最有说服力()A.回归分析p B.均值与方差C.
6、独立性检验 D.概率解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.答案C3.(选修23P78讲解改编)两个变量y与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是()A.模型1的相关系数r为0.98B.模型2的相关系数r为0.80C.模型3的相关系数r为0.50D.模型4的相关系数r为0.25解析在两个变量y与的回归模型中，它们的相关系数r越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关系数最大，所以拟合效果最好的是模型1.答案A4.(20焦作模拟)变量和y的统计数据如下表：34567y2.5344.56根据上表可得回归直线方程为yb0.25
7、，据此可以预测当8时，y()A.6.4 B.6.25 C.6.55 D.6.45解析由题意知eq f(34567,5)5，yeq f(2.5344.56,5)4，将点(5，4)代入yb0.25，解得b0.85，那么y0.850.25，所以当8时，y0.8580.256.55，应选C.答案C5.(20全国卷)根据下面给出的204年至20年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的选项是()A.逐年比拟，2022年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.207年我国治理二氧化硫排放显现成效C.20年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.20年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析对于A
8、选项，由图知从207年到2022年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确.对于B选项，由图知，由20年到207年矩形高度明显下降，因此B正确.对于C选项，由图知从20年以后除2022年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知20年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确.答案D6.(20丹东教学质量监测)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用22列联表进展独立性检验，经计算26.705，那么所得到的统计学结论是：有的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”()A.95 B.99 C.1 D.5解析因为6.7056.635，因此有99的把握认为“学生
9、性别与支持该活动有关系”，应选B.答案B考点一相关关系的判断【例1】 (1)观察以下各图形，其中两个变量，y具有相关关系的图是()A. B. C. D.(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析p 方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁R0.820.780.690.85M106115124103那么哪位同学的试验结果表达A，B两变量有更强的线性相关性()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析(1)由散点图知中的点都分布在一条直线附近.中的点都分布在一条曲线附近，所以中的两个变量具有相关关系.(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值
10、越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果表达了A，B两变量有更强的线性相关性.答案(1)C(2)D规律方法1.散点图中假如所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.假如所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.假设点分布在从左下角到右上角的区域，那么正相关.2.利用相关系数断定，当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关系数r越大，相关性越强.假设r0，那么正相关；r0时，正相关；b r2；，y之间不能建立线性回归方程.解析(1)由y0.11，知与y负相关，即y
11、随的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随的增大而减小，与z负相关.(2)在散点图中，点分布在从左上角到右下角的区域，因此，y是负相关关系，故正确；由散点图知用yc1ec2拟合比用yba拟合效果要好，那么r1r2，故正确；，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误.答案(1)C(2)考点二线性回归方程及应用【例2】 (20西安调研)某地随着经济的开展，居民收入逐年增长，下表是该地一建立银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：年份2020202020储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进展了处理，t2 01
12、2，zy5得到下表2：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程yba，其中eq o(b,sup6)eq f(o(,sup6(n),sdo6(i1)iyino(,sup6()o(y,sup6(),o(,sup6(n),sdo6(i1)eq oal(2,i)no(,sup6()2)，aeq o(y,sup6()beq o(,sup6()解(1)eq o(t,sup6()3，eq o(z,sup6()2.2，eq o(,sup6(5),s
13、do6(i1)tizi45，eq o(,sup6(5),sdo6(i1)teq oal(2,i)55，beq f(45532.2,5559)1.2，aeq o(z,sup6()eq o(b,sup6)eq o(t,sup6()2.231.21.4，所以z1.2t1.4.(2)将t2 012，zy5，代入z1.2t1.4，得y51.2(2 012)1.4，即y1.22 410.8.(3)因为y1.22 0222 410.815.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.规律方法1.(1)正确理解计算b，a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.(2)回归直线方程yba必过
14、样本点中心(eq o(,sup6()，eq o(y,sup6().2.(1)在分析p 两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，假设具有线性相关关系，那么可通过线性回归方程来估计和预测.(2)对于非线性回归分析p 问题，应先进展变量代换， 求出代换后的回归直线方程，再求非线性回归方程.【训练2】 (20全国卷)如图是某地区20年至20年环境根底设施投资额y(单位：亿元)的折线图.为了预测该地区20年的环境根底设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据20年至20年的数据(时间变量t的值依次为1，2，17)建立模型：y30.413.5t；根据2022年至20年的数据(时间变量t的值依次为1，2，7)建立模型：y9917.5t.
