4点距离的计算方法 【例1】 已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 BAODCA11F【解析】 应用菱形的性质，设AC和BD的交点为F点，且，在三角形ABC中可得，，折叠前后仍在同一平面内的位置，且，，，则平面，于是二面角的补角，设O为在面ABD上的射影，由面面垂直的性质定理，O在AF上，则 ，为到所在平面的距离；［评注］点到面的距离常常经过点构建一个与已知面垂直的平面，点到面的距离转化为点在辅助面内到两平面的交线的距离，这是面面垂直的性质定理决定的，简称利用面面垂直直作点到面的距离【变式1】正三棱柱中利用面面垂直性质定理直作点到面的距离 在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为 1. 【解析】过点A作AD⊥BC于点D，连接A1D，过点A作AD⊥面A1BC于点E，则点E在A1D上，AE即为点A到平面的距离在Rt△ACD中，AC=2，CD=1，∴AD=. 在Rt△A1DA中，，AD=，∴tan∠A1DA=∴∠A1DA=300.在Rt△ADE中，AE=AD·sin300=.【例2】图17如图17，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1， 则直线BC1到平面D1AC的距离为 .[解析] 易证，∴直线BC1∥平面DA1C；由（1）知BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为：由，且中，，故 ∴，即直线BC1到平面D1AC的距离为．［评注］解决空间距离问题的思路就是转化：面面距→线面距→点面距，然后利用等积变换的方法求点面距．【变式1】两种思维方法求解点到面的距离如图 (10)所示,四棱锥中, 为线段上的一点,平面平面若求三棱锥的高.图(11)图(10) 1.【解析1】 等体积法 设三棱锥的高为,因为可得,所以,则可,所以,,由,得,代入数值得,所以.三棱锥的高为.【解析2】 辅助垂面法 如图(11)所示,作于,连接,因为,,所以,又,所以,,所以,作于,则有,所以即为三棱锥的高.,因为可得,所以.图16图15【变式2】折叠问题中两种方法求解点到面的距离 如图, 在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图16．则点到平面的距离为 2.【解析1】易证， 又， 设点到平面的距离为则，故，故到平面的距离等于.【解析2】 易证，∴平面BCE⊥平面BDE，过Ｄ做ＤＨ⊥ＢＥ于Ｈ，∴DH⊥平面BEC，在ΔBDE中，DH＝．【变式3】 图17如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，则直线BC1到平面D1AC的距离为 .3.【解析】 易证，∴直线BC1∥平面DA1C；可知BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为：由，且中，，故 ∴，即直线BC1到平面D1AC的距离为. 。