CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987 其次届年中国数学奥林匹克1. 设 n 为自然数，求方程 zn+1 -zn-1=0 有模为 1 的复根的充份必要条件是 n+2 可被 6 整除2. 把边长为 1 的正三角形 ABC的各边都 n 等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数i. A、B、C 三点上放置的数分别为 a、b、cii. 在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等试求3. 放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离4. 全部结点上数的总和 S3. 某次体育竞赛，每两名选手都进展一场竞赛，每场竞赛肯定决出胜败，通过竞赛确 定优秀选手，选手 A 被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手 B，或者 A 胜 B， 或者存在选手 C，C 胜 B，A 胜 C结果按上述规章确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜全部其它选手4. 在一个面积为 1 的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，肯定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边， 并且它们的面积之和不超过 0.64。
5. 设 A A A A1 2 3 4是一个四周体，S, S , S , S1 2 3 4分别是以 A , A , A , A1 2 3 4为球心的球，它们两两相切假设存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r 的球与 S , S , S , S 都1 2 3 4相切，还可以作一个半径为 R 的球积四周体的各棱都相切，求证这个四周体是正四面体6. m 个互不一样的正偶数与n 个互不一样的正奇数的总和为 1987，对于全部这样的 m与 n，问 3m+4 的最大值是多少？请证明你的结论1988 年第三届中国数学奥林匹克1. 设 a1, a , ... , a2 n是给定的不全为零的实数，r , r1 2, ... , rn为实数，假设不等式r (x -a)+r (x -a)+...+r (x -a )≦√(x 2+ x 2+ ... + x 2) + √(a 2+ a 2+ ... + a 2)1 1 12 2 2n n n 1 2 n1 2 n对任何实数 x1, x , ... , x2 n成立，求r , r1 2, ... , rn的值2. 设 C 、C 为同心圆，C 的半径是 C 的半径的 2 倍，四边形 A A A A 内接于 C ，1 2 2 1 1 2 3 4 1将 A A 延长，交圆 C 于 B 。
设 A A 延长线交 C 于 B ，A A 延长线交圆 C 于 B ，1 4 2 1 1 2 2 2 2 3 2 3A A 延长线交圆 C 于 B 试证：四边形 B B B B的周长 2(四边形 A A A A 的周3 4 2 41 2 3 41 2 3 4长)并确定的号成立的条件3. 在有限的实数列a , a , ... , a中，假设一段数a , a , ... , a的算术平均值大于1988，1 2 nk k+1k+l-1那么我们把这段数叫做一条“龙”，并把 ak叫做这条龙的“龙头”(假设某一项 an>1988，那么单独这一项也叫龙)假设以上的数列中至少存在一条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定大于 19884. (1)设三个正实数 a、b、c 满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4)求证：a、b、c 肯定是某个三角形的三条边长2)设n 个正实数 a , a1, ... , a 满足2 n(a 2+ a 2+ ... + a1 2 n2)2>(n-1)(a 4+ a 4+ ... + a 4)其中n≧31 2 n求证：这些数中任何三个肯定是某个三角形的三条边长。
5. 给出三个四周体 A BC D (i=1, 2, 3)，过点 B、C 、D 作平面 α 、β 、γ (i=1, 2, 3)，分i i i ii i ii i i别与棱 A B、A C 、A D 垂直(i=1, 2, 3) ，假设九个平面α 、β 、γ (i=1, 2, 3)相交于一i i i i i i i i i点 E，而三点 A 、A 、A 在同始终线 l 上，求三个四周体的外接球面的放条(外形怎1 2 3样？位置如何？)6. 如 n 是不小于 3 的自然数，以f(n)表示不是n 的因子的最小自然数，例如f(12)=5假设 f(n)3，又可作f(f(n))类似地，假设，f( f(n) )≧3，又可作f( f( f(n)))等等如果 f( f(...f(n) ...)) =2，共有 k 个 f，就把 k 叫做n 的“长度”假设 ln对任意自然数 n (n≧3)，求 l 并证明你的结论n表示n 的长度，试1989 年第四届中国数学奥林匹克1. 在半径为 1 的圆周上，任意给定两个点集 A、B，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中 B 的每段的长度都等于 π/m，m 是自然数用 Aj 表示将集合 A 反时针方向在圆同上转动 jπ/m 弧度所得的集合(j=1, 2, ...)。
求证：存在自然数 k，使得 L(Aj∩B)≧L(A)L(B)/(2π)这里 L(x)表示组成点集x 的互示相交的弧段的长度之和2. 设 x1, x , ... , x2 n都是正数(n≧2)且 x + x1+ ... +x2 n=13. 设 S 为复平面上的单位圆同(即模为 1 的复数的集合)，f 为从S 到S 的映射，对于任意 S 的元素z，定义f(1)(z)=f(z)，f(2)(z)=f( f(z))，...，f(k)(z)=f( f(k-1)(z) )假设S 的元素c，使得f(1)(z)≠c，f(2)(c)≠c，...，f(n-1)(c)≠c，f(n)(c)≠c则称 c 为f 的 n─周期点设 m 是大于 1 的自然数，f 定义为f(z)=zm，试计算 f 的 1989─周期点的总数4. 设点 D、E、F 分别在△ABC 的三边 BC、CA、AB 上，且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆有相等的半径 r，又以 r0 的 R 分别表示△DEF 和△ABC 的内切圆半径求证：r+r0=R5. 空间中有 1989 个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不一样的 30 组，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形。
6. 设 f：(1, +∞)→(0, +∞)满足以下条件：对于任意实数x、y>1，及 u、v>0，有f(xuyv)≦f(x)1/(4u) f(y)1/(4v)试确定全部这样的函数1990 年第五届中国数学奥林匹克1. 如以下图，在凸四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，圆 O1过 A、B 且与边 CD 相切于 P，圆 O2过 C，D 且与边 AB相切于 Q，圆 O1与 O 相交于 E、F求证：EF 平2分线段 PQ 的充要条件是BC//AD2. 设 x 是一个自然数，假设一串自然数x0=1, x2, ... , xn=x 满足 xi-10 有定义，且满足条件：i. 对任何 x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)；ii. 存在常数 M>0， 当 0≦x≦1 时，| f(x) | ≦M。
求证：f(x)≦x2 4. 设 a 是给定的正整数，A 和 B 是两个实数，试确定方程组：x2 +y2 +z2 =(13a)2 ，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3有整数解的充份必要条件(用 A、B 的关系式表示，并予以证明)5. 设 X 是一个有限集合，法则f 使的X 的每一个偶子集 E(偶数个元素组成的子集)都对应一个实数 f(E)，满足条件：a. 存在一个偶子集 D，使得 f(D)>1990；b. 对于 X 的任意两个示相交的偶子集 A、B，有 f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990求证：存在 X 的子集P、Q，满足iii. P∩Q 是空集，P∪Q=X；iv. 对 P 的任何非空偶子集S，有f(S)>1990v. 对 Q 的任何偶子集T，有f(T)≦19906. 凸 n 边形及 n-3 条在n 边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图求证： 当且仅当 3|n 时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点动身，经过图中各线段恰一次，最终回到动身点)1991 年第六届中国数学奥林匹克1. 平面上有一凸四边形 ABCD。
i. 假设平面上存在一点 P，使得 ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP 面积都相等， 问四边形 ABCD 应满足甚么条件？ii. 满足(i)的点 P，平面上最多有几个？证明你的结论2. 设 I=[0,1]，G={ (x, y) | x、y 为I 的元素}，求G 到I 的全部映像f，使得对I 的任何x、y、z 有i. f( f(x,y), z) =f( x, f(y,z) )；ii. f(x, 1) =x， f(1,y)=y；iii. f(zx, zy) =zk f(x,y)这里，k 是与 x、y、z 无关的正数3. 地面上有 10 只小鸟在啄食，其中任意 5 只小鸟中至少有 4 只在一个圆上，问有鸟最多的圆上最少有几只鸟？4. 求满足方程 x2n+1-y2n+1 =xyz+22n+1 的全部正整数解组(x, y, z, n)，这里 n≧2，z≦5×22n 5. 求全部自然数 n，使得 min( k2+[n/k2] )=1991这里[n/k]表示 n/k 的整数部份自然数k6. MO 牌足球由假设干多边形皮块用三种示同颜色的丝线缝制而成，有以下特点：i. 任一多边形皮块的一条边恰与另一多边形皮块同样长的一条用一种六色的丝线缝合；ii. 足球上每结点，恰好是三个多边形的顶点，每一结点的三条缝线不一样。
求证：可以在 MO 牌足球的每一结点上放置一个不等于 1 的复数，使得每一多边形的全部顶点上放置的复数的乘积都相等1992 年第七届中国数学奥林匹克1. 设方程 xn+axn-1 +axn-2 +. +ax+a=0 的系数都是实数，且适合条件 0