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1、第33讲 几何法求角和距离 【典型例题】例1直三棱柱中，侧棱，则点到平面的距离为ABCD【解析】解：直三棱柱中，侧棱，可得，点到平面的距离为，可得，解得故选：例2平行六面体中，点在平面内的射影是与的交点，则异面直线与所成的角为ABCD【解析】解：点在平面内的射影是与的交点，得面，得，又四边形为平行四边形，且，即四边形为菱形，即，又，则面，又面，所以，即异面直线与所成的角为，故选：例3如图，四棱锥的底面为直角梯形，为正三角形，点为线段的中点（1）证明；（2）当时，求点到平面的距离【解析】（1）证明：取的中点，连接、，由题意可知：，为正三角形，又，面，面面，；（2）解：由题意可知，且，又为正三角形
2、，又，得由（1）知，且，面，面，三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，则，得，即点到平面的距离为例4如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【解析】解：（）证明：如图，连接，因为，分别为，的中点，所以，且由已知可得，且，又为的中点，故，且，因此四边形为平行四边形，所以因为四边形是菱形，是的中点，所以，因为平面，而平面，所以，而，所以平面，所以平面（）在平面内，过点作的垂线，垂足为由（）知平面，所以，又因为，所以平面，则即为直线与平面所成角由已知可得，所以，所以，即直线与平面所成角的正弦值为例5如图所示，多面体中，是直角梯形，平面，正平面，为中点（1
3、）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【解析】（1）证明：在中，为中点，为正三角形正平面，平面平面平面是平面四边形平面，平面平面；（2）过作，垂足为，连接，平面，平面，平面，为二面角的平面角在直角中，则，在中，二面角的平面角的余弦值为例6如图，在棱长为1的正方体中，点、分别为棱、中点（1）求证：平面；（2）求二面角的大小【解析】解：（1）如图，在平面上的射影为，由、分别为棱、中点，故，同理，所以平面（2）作，为垂足，连，则，故为二面角的平面角又，故，所以二面角的大小为例7如图1，平行四边形中，在的延长线上取一点，使得；现将沿翻折到图2中的位置，使得（）求证：；（）求直线与面所成角的正弦值
4、【解析】解：（）证明：作垂足为，根据题意得，则，又，在中，由余弦定理得，又，由勾股定理得，又，则平面，又平面，故（），平面，到平面的距离等于到平面的距离，作的延长线于，连，则为直线与面所成的角，直线与面所成角的正弦值为：【同步练习】一选择题1在三棱锥中，已知所有棱长均为2，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【解析】解：取的中点，连接，则为所求，又，则，故选：2已知三棱锥的棱长都相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【解析】解：如图，取中点，连接，因为、分别为、的中点，则为三角形的中位线，所以，所以直线与所成的角即为直线与直线所成角，因为三棱锥的棱长全相等，设棱长为，则
5、，在等边三角形中，因为为的中点，所以为边上的高，所以同理在三角形中：所以，直线与直线所成角的余弦值为故选：3已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【解析】解：如图，取中点，连接，为的中点，则为异面直线与所成的角，为正四面体，分别为，的中点，设正四面体的棱长为，则，在中，由余弦定理得：故选：4已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD0【解析】解：设的中点为，连接，则，直线与所成的夹角就是异面直线与所成的夹角，由题意：设正四面体的棱长为，则，由余弦定理可得故选：5如图，在棱长为2的正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为ABCD【解析】解：
6、如图，取的中点，连接，则，得为异面直线与成角连接，取的中点，连接，正四面体的棱长为2，可得，且，即异面直线与成角的余弦值为故选：二多选题6正方体的棱长为1，为的中点A直线与直线是异面直线B在直线上存在点，使平面C直线与平面所成角是D点到平面的距离是【解析】解：对于，由图可知，直线与直线都在平面中，故直线与直线是共面直线，故错误；对于，连接，取的中点，连接，又为的中点，则，且，平面，则平面，故正确；对于，连接交于点，连接，平面，平面，即为直线与平面所成的角，故错误；对于，平面，点到平面的距离，故正确；故选：7如图，在平行六面体中，平面，且，则AB异面直线与所成角的余弦值为C平面D二面角的角度为【
7、解析】解：，平面，又，平面，故正确；，为异面直线与所成角在中，故错误；，平面，平面，与平面有交点，故错误；连接交于，平面，为二面角的平面角在，故正确，故选：8已知正方体的棱长为2，则A直线与所成的角为B直线与所成的角为C点到平面的距离为D直线与平面所成的角为【解析】解：由题意，作正方体如图所示：对于：由正方体性质可知，所以直线与所成的角为直线与所成的角，因为正方体的面对角线长度相等，所以为正三角形，从而，故错误；对于：由正方体性质可知，平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，故正确；选项：由题意易知，因为平面，且平面，所以，因为，所以平面，故点到平面的距离为，故错误；选项：由正方
8、体性质可知，平面，从而直线与平面所成的角为，故正确故选：三解答题9在直三棱柱中，且异面直线与所成的角等于，设（1）求的值；（2）设是上的任意一点，求到平面的距离【解析】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）（1）解：，就是异面直线与所成的角，异面直线与所成的角等于，又连接，则，为等边三角形，由，解得或（舍（2）直三棱柱中，在平面外，平面，平面，又是上的任意一点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离设其为，连接，则由三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求，的面积，的面积，解得，即到平面的距离等于10在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点，（1）求证：平面；（2
9、）求异面直线与所成角的余弦值【解析】（1）证明：因为四边形是等腰梯形，且，所以，又是的中点，所以且，连接，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）解：因为，所以或其补角为异面直线与所成的角，在中，因为，所以，由余弦定理得，因为异面直线夹角的取值范围为，故异面直线和所成角的余弦值为11如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点（）求证：平面；（）若平面且，求直线与平面所成角的正弦值【解析】解：（）证明：如图所示，连接，四边形是平行四边形，平面，平面，平面（）连接、，平面且，设点到平面的距离为，则，解得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：12如图
10、，在三棱台中，平面平面，（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值【解析】解：（）证明：作，且交于点，面面，面，在中，即是直角三角形，且，面，面，在三棱台中，（）设，则，在中，在中，作于，面，面，是直角三角形，且，设与面所成角为，则即为与面的夹角，且，在中，13如图，在三棱台中，平面平面，（）证明：；（）若，求直线与平面所成角的正弦值【解析】（）证明：设，则，在中，由余弦定理知，解得，即，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，（）解：由三棱台的性质知，故直线与平面所成角即为直线与平面所成角由（）知，平面，即为所求，在中，由余弦定理知，在中，故直线与平面所成角的正弦值为14如图，四棱锥中，底面
11、为正方形，且，为中点（）求证：平面；（）求异面直线与所成角的正切值；（）求与底面所成角的余弦值【解析】解：（）底为正方形，连，交于点，则为的中点连结，为的中点，又平面，平面，所以平面（），为异面直线与所成角，又，平面又平面，为直角三角形，又，即异面直线与所成角的正切值为（）取中点，则，且又由，可得平面，平面故为与底面所成的角又，所以与底面所成角的余弦值为15如图甲，在平面四边形中，已知，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点、分别为棱、的中点（）求证：平面；（）设，求三棱锥夹在平面与平面间的体积【解析】解：（）证明：由已知，得，平面平面，平面平面，平面，得，又，、平面，平面；（）由已知得
12、，则、分别为棱、的中点，由（）知平面，则平面，三棱锥夹在平面与平面间的体积为16如图甲，在平面四边形中，已知，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点为棱的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值大小【解析】（1）证明：，平面平面，平面平面平面，平面，平面；（2）解：取中点，连接、，则点为棱的中点，平面平面，为与平面所成角与平面所成角的正弦值为17如图，四面体中，为的中点（1）证明：平面平面；（2）设，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积【解析】证明：（1）由于，是的中点，所以，由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面；解：（2）依题意，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以，所以，由于，平面，所以平面，由于，所以，由于所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小值，过作，垂足为，在
