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1、第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2 次的整式方程叫做一元二次方程。2一元二次方程有四个特点:（1) 只含有一个未知数:（2) 且未知数次数最高次数是2:（3) 是整式方程.要判断一个方 程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax +bx+c=0（a0) 的形式, 则这个方程就为一元二次方程.( 4)将方程化为一般形式:ax 2+bx+c=0 时,应满足( a0)21.2 降次解一元二次方程1. 一元二次方程的解法（1) 直接开平方法:根据平方根的意义,用此法可解出形如x 2a （a 0),（
2、xa) 2b （b 0) 类的2一元二次方程. xa ,则 xa : （xa) 2b , xab , xab .对有些一元二次方程,本身不是上述两种形式,但可以化为x 2a 或（xa)2b 的形式,也可以用此法解.（2) 因式分解法:当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用此法来解.要清楚使乘积ab=0 的条件是 a=0 或 b=0,使方程 x（x -3) =0 的条件是 x= 0 或 x-3= 0.x 的两个值都可以使方程成立,所以方程x（x - 3) =0 有两个根,而不是一个根.2（3) 配方法:任何一个形如xbx 的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的
3、方法配成一个二项式的完全平方, 把方程归结为能用直接开平方法来解的方程.如解 x 26x70 时,可把方程22x 26x676化为 x 26x7 ,22,即 （x3)22 ,从而得解.注意: （1) 方程两边各加上一次项系数一半平方的前提是方程的二次项系数是1.（2) 解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点.（3) 公式法:一元二次方程 ax2bxc0 （a 0) 的根是由方程的系数a、b、c 确定的.在 b 24ac0x的前提下,bb22a4ac.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先把方程化为一般形式,即ax 2bxc0 （a 0) 的形式:正确地确定方程各项的系数a、b、c
4、的值（ 要注意它们的符号 ) :计算 b24ac0 时,方程没有实数根,就不必解了（ 因负数开平方无意义 ) :将 a、b、c 的值代入求根公式,求出方程的两个根.说明: 象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程,而公式法则是最普遍,最适用的方法.解题时要根据方程的特征灵活选用方法.2. 一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况:有两个不相等的实数根: 有两个相等的实数根: 没有实数根.而根的情况,由b2别式.4ac 的值来确定.因此b 24ac 叫做一元二次方程 ax 2bxc0 的根的判0方程有两个不相等的实数根.= 0方程有两个相等的实数根. 0 时,抛物线向上开口:当
5、a 0),对称轴在y 轴左:当 a 与 b 异号时(即ab 0 时,抛物线与x 轴有 2 个交点。A= b 2-4ac=0 时,抛物线与x 轴有 1 个交点。A=b 2-4ac 0 时,抛物线与x 轴没有交点。V. 二次函数与一元二次方程特别地,二次函数(以下称函数)y=ax 2;+bx+c ,当 y=0 时,二次函数为关于x 的一元二次方程(以下称方程), 即 ax2;+bx+c=0此时,函数图象与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。例 1,二次函数配方为的形式,则（)用函数观点看一元二次方程bxc0 的一个根。就是方程 ax21. 如果抛物线yax 2b
6、xc 与 x 轴有公共点, 公共点的横坐标是x0 ,那么当 xx0 时,函数的值是0,因此 xx02. 二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最 小值。第二十三章旋转23.1 图形的旋转1. 图形的旋转( 1)定义:在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。图
7、形的旋转本节我们重点了解旋转、平移性质,除外还有一个重点是点的对称变换。二、知识要点1、旋转: 将一个图形绕着某点0转动一个角度的变换叫做旋转。其中,0叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。2、旋转性质 旋转后的图形与原图形全等 对应线段与0形成的角叫做旋转角 各旋转角都相等3、平移: 将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中,该直线的方向叫做平移方向,该距离叫做平移距离。4、平移性质 平移后的图形与原图形全等 两个图形的对应边连线的线段平行相等(等于平行距离) 各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形 中心对称:若一个图形绕着某个点0旋转 180。,能够与另一个图形
8、完全重合,则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中,点0叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称图形:若一个图形绕着某个点0旋转 180。,能够与原来的图形完全重合,则这个图形叫做中心对称图形。其中,这个点叫做该图形的对称中心。6、轴对称与轴对称图形（1) 、轴对称:若两个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中,这条轴叫做对称轴。注:轴对称的性质:两个图形全等:对应点连线被对称轴垂直平分( 2)轴对称图形:若一个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,则这个图形叫做轴对称图形。7、点的对称变换( 1)、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P( x, y)关于原点的对称点为P( -x ,-y )( 2)、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于x 轴对称时,它们的坐标中,x相等, y的符号相反,即点P(x, y)关于x轴的对称点为P(x, -y )( 3)、关于 y 轴对称的点的特
