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1、 常考问题9等差数列、等比数列来源:中&国教&育出&版网真题感悟1(20xx苏州期中)在等差数列an中，a53，a62，则a3a4a8_.解析根据等差数列性质计算因为an是等差数列，所以a3a4a83(a5a6)3.答案32(20xx苏锡常镇调研)在等差数列an中，已知a815，a913，则a12的取值范围是_解析因为a8a17d15，a9a18d13，所以a12a111d3(a17d)4(a18d)7.答案(，73(20xx新课标全国卷)若数列an的前n项和为Snan，则数列an的通项公式是an_.解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.答案(2)n
2、14(20xx江苏卷)设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析由题意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.来源:答案考题分析高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用试题类型可能是填空题，以考查单一性
3、知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题来源:z。zs。1等差、等比数列的通项公式等差数列an的通项公式为ana1(n1)dam(nm)d；等比数列an的通项公式为ana1qn1amqnm.2等差、等比数列的前n项和(1)等差数列的前n项和为Snna1d.特别地，当d0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，即可设Snan2bn(a，b为常数)(2)等比数列的前n项和Sn特别地，若q1，设a，则Snaaqn.3等差数列、等比数列常用性质(1)若序号mnpq，在等差数列中，则有amanapaq；特别的，若序号mn2p，则aman2ap；在等比数列中，则有amanapaq；特别的
4、，若序号mn2p，则amana；(2)在等差数列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，其公差为kd；其中Sn为前n项的和，且Sn0(nN*)；在等比数列an中，当q1或k不为偶数时Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其中Sn为前n项的和(nN*).热点一等差、等比数列中基本量的计算【例1】 (20xx盐城模拟)设数列an是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，满足：aaaa，S77.(1)求数列an的通项公式及前n项的和Sn；(2)设数列bn满足bn2an，其前n项的和为Tn，当n为何值时，有Tn512.解(1)由an是公差不为0的等差数列，来源:中教网可设ana1(
5、n1)d，则由得整理，得由d0解得，所以ana1(n1)d2n7，Snna1dn26n.(2)由(1)得an2n7，所以bn2an22n7，又4(n2)，b12a1，所以bn是首项为，公比为4的等比数列，所以它的前n项和Tn(4n1)，于是由Tn512，得4n3471，所以n8时，有Tn512.规律方法 求等差、等比数列通项与前n项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n项和公式的选择【训练1】 已知数列an的前n项和为Sn，a13，是公比为2的等比数列(1)证明：an是等比数列，并求其通项；(2)设数列bn满足bnlog3an，其前n项和为Tn，当n为何值时，有Tn2 0
6、12?(1)证明由题意，得2(n2)，即1Sn4(1Sn1)，同理，得1Sn14(1Sn)两式相减，得Sn1Sn4(SnSn1)，即an14an，4(n2)又a13，所以an是首项为3，公比为4的等比数列，所以an34n1322n2.(2)解由(1)得an322n2，所以bnlog2(322n2)来源:log232(n1)，所以bn是首项为log23，公差为2的等差数列，前n项和为Tnnlog23n(n1)，于是由n2nlog23n(n1)2 012，得n，又nN*，所以1n44，即n1,2,3，44时，Tn2 012.热点二与等差、等比数列有关的最值问题【例2】 等差数列an的首项是2，前1
7、0项之和是15，记Ana2a4a8a16a2n，求An及An的最大值解设等差数列an的公差为d，由已知：解得a12，d，Ana2a4a8a2nna1d137(2n1)na1d(222232nn)2n(19n22n1)，求An的最大值有以下两种解法法一数列a2n的通项a2na1(2n1)d(192n)令a2n(192n)0，得2n19(nN*)，由此可得a21a22a23a240a25，故使a2n0，n的最大值为4，所以(An)max(1942241).法二由An(19n22n1)，若存在n(nN*)，使得AnAn1，且AnAn1，则An的值最大来源:解得9.52n19(nN*)，取n4时，An
8、有最大值(An)max(1942241).规律方法 上述两种求An最值的方法都是运用函数思想法一是直接研究子数列a2n法二是研究An(19n22n1)的单调性求其最值【训练2】 (20xx苏州期中)已知等差数列an的首项a10，公差d0，由an的部分项组成的数列ab1，ab2，abn，为等比数列，其中b11，b22，b36.(1)求数列bn的通项公式bn；来源:(2)若数列bn的前n项和为Sn，求Sn的值；(3)求AnSn的最小值解(1)由aa1a6，得(a1d)2a1(a15d)，d23a1d0.又d0，所以d3a1，所以q4，所以abna14n1.又abna1(bn1)da1(bn1)3a
9、1，所以a14n1a1(bn1)3a1.因为a10，所以3(bn1)14n1，故bn.(2)Snb1b2b3bn(144n1).(3)由Sn，得AnSn(4n2 006n1)，若存在nN*，使得AnAn1，且AnAn1，则An的值最小于是由解得4n(nN*)，取n5，(An)min.热点三等差、等比数列的探求问题来源:中教网【例3】 已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足aS2n1，令bn，数列bn的前n项和为Tn.(1)求数列an的通项公式及数列bn的前n项和Tn；(2)是否存在正整数m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不
10、存在，请说明理由解(1)n1时，由aS1a1，且a10，得a11.因为an是等差数列，所以ana1(n1)d1(n1)d，Snna1dnd.于是由aS2n1，得1(n1)d22n1(2n1)(n1)d，即d2n2(2d2d2)nd22d12dn2(23d)nd1，所以解得d2.所以an2n1，从而bn所以Tnb1b2bn.(2)法一T1，Tm，Tn，若T1，Tm，Tn成等比数列，则2，即.由，可得0，即2m24m10，1m1.又mN*，且m1，所以m2，此时n12.因此，当且仅当m2，n12时，数列Tn中的T1，Tm，Tn成等比数列法二因为，故，即2m24m10，1m1，(以下同上)规律方法
11、在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，有限或发生矛盾，则说明不存在【训练3】 设an是单调递增的等差数列，Sn为其前n项和，且满足4S3S6，a22是a1，a13的等比中项(1)求数列an的通项公式；来源:来源:(2)是否存在m，kN*，使amam4ak2？说明理由；来源:中国教育出版网(3)若数列bn满足b11，bn1bnan，求数列bn的通项公式解(1)设数列an的公差为d(d0)，依题意得解得或d0，ana1(n1)d12(n1)2n1，即an2n1.(2)假设存在m，kN*，使amam4ak2，则2m12(m4)12(k2)1，即2k4m3，k2m，k，mN*，k2m不可能成立故不存在m，kN*，使amam4ak2成立(3)由题意可得b2b11，b3b23，bnbn12n3，将上面n1个式子相加得bnb1(n1)2.由b11得，bnn22n.来源:备课札记： 来源:中国教育出版网
