《四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第10课时抛物线的简单几何性质同步测试新人教A版选修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第10课时抛物线的简单几何性质同步测试新人教A版选修2（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第10课时抛物线的简单几何性质同步测试新人教A版选修2 1.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,点F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆与抛物线C的准线相交于不同两点,则y0的取值范围是().A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p=4,根据题意,只要满足|FM|4即可.由抛物线定义知,|FM|=y0+2.由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+).【答案】C2.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反光
2、镜顶点的距离是().A.11.25 cmB.5.625 cmC.20 cmD.10 cm【解析】如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y2=2px(p0),则点A(40,30).302=2p40,p=,y2=x.光源到反光镜顶点的距离为=5.625(cm).【答案】B3.抛物线y2=2x的焦点为F,其准线经过双曲线-=1(a0,b0)的左顶点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=2,则双曲线的离心率为().A.B.2C.D.【解析】点F,准线l:x=-,由题意知a=.由抛物线的定义知,xM-=2,xM=,=3.点(xM,yM)在双曲线上,-=1,b2=,c2=a2+b2=,e2=4=,e
3、=.【答案】A4.已知点O为坐标原点,点F为抛物线y2=4x的焦点,点A是抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标是().A.(1,2)B.(4,4)C.(1,2)或(1,-2)D.(4,4)或(4,-4)【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0),设点A,则=,=.由=-4,得y0=2,所以点A的坐标是(1,2)或(1,-2).【答案】C5.对标准形式的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程y2=10x的是.(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y2=10x的焦点在x轴上,不
4、满足,满足;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上的一点,F为抛物线的焦点,则|MF|=1+=1+=6,所以不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足坐标为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以满足.【答案】6.设过点P(-2,4)且倾斜角为135的直线l与抛物线C:y2=2px(p0)相交于A,B两点,若|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则抛物线C的方程为.【解析】直线l的方程为y=-x+2,联立y=-x+2和y2=2px,消去x,得y2+2py-4p=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2p,y1y2=-
5、4p.由P,A,B三点共线,且|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则|y1-4|,|y1-y2|,|y2-4|也成等比数列,得|(y1-4)(y2-4)|=|y1-y2|20,则|y1y2-4(y1+y2)+16|=(y1+y2)2-4y1y2,且y1y2,即|p+4|=p2+4p,且=(2p)2-4(-4p)=4p2+16p0,解得p=1.所求抛物线的方程为y2=2x.【答案】y2=2x7.在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(0,-2),动点P(x,y)满足-y2+8=0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求的轨迹与直线y=x+2交于C,D两点,求证:OCOD(O为坐标
6、原点).【解析】(1)由题意,可知=(-x,4-y),=(-x,-2-y),x2+(4-y)(-2-y)-y2+8=0,整理得x2=2y,动点P的轨迹方程为x2=2y.(2)由整理得x2-2x-4=0,x1+x2=2,x1x2=-4.kOCkOD=-1,OCOD.拓展提升(水平二)8.已知点M在抛物线y2=6x上,N为抛物线的准线l上的一点,F为抛物线的焦点,若=,则直线MN的斜率为().A.B.1 C.2D.【解析】由题设可知点M,N,F三点共线,且点F是线段MN的中点,不妨设点M(x0,y0)(y00),F,则x0=,y0=-t.又点M(x0,y0)在抛物线上,所以=6x0,即y0=-3,
7、所以t=3.故直线MN的斜率k=-.设y00,则t0,同理可得MN的斜率k=,故选D.【答案】D9.已知点A(1,2)在抛物线C:y2=4x上,过点A作两条直线分别交抛物线于D,E两点,直线AD,AE的斜率分别为kAD,kAE,若直线DE过点P(-1,-2),则kADkAE=().A.4B.3C.2D.1【解析】设点D(x1,y1),E(x2,y2),则kAD=,kAE=,kADkAE=,设直线DE:y+2=k(x+1),联立方程消去x,可得ky2-4y+4k-8=0.y1+y2=,y1y2=.x1+x2=,x1x2=,代入可得kADkAE=2.【答案】C10.已知南北方向有条公路L,A地在公
8、路正东2 km处,B地在A地北偏东60方向2 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物.经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是万元.【解析】如图所示,由题意知,曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义,知欲求M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B点到准线L的距离即可.B地在A地北偏东60方向2 km处,B点到抛物线L的距离为2sin 60+2=5(km),修建这两条公路的总费用最低为5a万元.【答案】5a11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,A,
9、B为抛物线上两点.(1)若=0,求证:直线AB恒过定点,并求出该定点坐标.(2)若线段AB中点的横坐标为2,且AB不与x轴垂直,求证:线段AB的垂直平分线恒过定点,并求出该定点坐标.(3)若线段AB过焦点F,AO与抛物线的准线交于点C,求证:BCx轴.【解析】(1)显然AB不与x轴平行,故设AB所在直线的方程为x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2).由得y2-4my-4a=0,y1+y2=4m,y1y1=-4a.=x1x2+y1y2=(my1+a)(my2+a)+y1y2=(m2+1)y1y2+ma(y1+y2)+a2,代入化简得a2-4a=0,a=0(舍去)或a=4,直线AB的方程为x=my+4,直线恒过定点(4,0).(2)若AB不与x轴垂直,设AB所在直线的方程为y=kx+b,由得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,x1+x2=4,b=.又AB中点的坐标为(2,2k+b),线段AB的垂直平分线为y-(2k+b)=-(x-2).将代入得方程为x+ky-4=0,直线恒过定点(4,0).(3)当直线AB的斜率存在时,设线段AB所在直线的方程为y=k(x-1),由得ky2-4y-4k=0,y1y2=-4,即y2=-.又直线AO的方程为y=x,其中=4x1,y=x,直线与准线x=-1的交点C的纵坐标yC=-.yC=y2,BCx轴.当直线ABx轴时,显然BCx轴.
