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1、第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例 1 用定积分定义求极限 .1a + 2a + nalimna+1例2-(a 0)ia1 二f1,x 1+a二 J xa dx 二1 = 1n Jn01 + a1 + a0J1-xndx.求极限 lim原式二lim工ns .-i=1ns 0 v 1 + x2解法1 xn ，xn于是0 J1-.0 v.1 + x 2dx J1xn dx.而 J1 x n0, xn+1 dx =-T 0(n T 8)， 由夹逼准则得lim J10 1 + x2n+1dx =0.ns解法2利用广义积分中值定理Jbf (x L (x ) dx = f)Jb g (x )dx （
2、其中g（x）在区间la,b上不变号）J1 , x -dx. = . 1 J1 xndx( g 1)由于 0 , 1 _ 0)，由于 v 2a x x2 = a 2 (x a)2 ，可设x a = a s i n.对积分 Jln 2J1 e 2xdx，可设 ex = sin t.（2）i = j-皿竺空dt（c,d丰0）的积分一般方法如下:0 c sin t + d cos t将被积函数的分子拆项，分子=A分母+B分母，可求出A - aC +加， c2 + d2B =加a .则积分C 2 + d 22 = A + B ln o 2I = A + B（CSint + dC0St）f dt =0c
3、sin t + d cos t解法1fi arcsin旦xU 2匕啤dt二 X = 12犬小-122 f1 arcsin td arcsin t =1- 2arcsin 211丄例3求定积分fiarc工x /-x)分析以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍. 可作适当变换去掉根式.3兀276解法2fi arcsin Jx ,.严u - 2sin u cos u 1匸3兀 2J . f、dx x sin2 u J 2du u2 2.1 JxQ x 丿比 sin u cos u也162、44小结(定积分的换元法)定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元X二申(t)时还应注意
4、:(1) X =申0应为区间U,卩上的单值且有连续导数的函数;2) 换限要伴随换元同时进行；3) 求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例 4 计算下列定积分1）兀COS3 X ,=J 2dx ；20 sinX+cosX忑 sin 3 xdx=J 2 _10 sin x + cos x（2）f；竺6_兀 1 + e - x2解（1） I / sin3 xdx10 sinx+cosx兀f0C0S3U()x =- uj(-du)2 H cos u + sin u=2九COS3 X,r2dx = I .0 cos x + sin x 2r 1 4 sin3
5、 x + cos3 x , =I =2dx122 0 sin x + cos x-上(in2 x - sin xcos x + cos2 xk = 口2 o4I =沁dx.-X1 + ex2兀 coS6 ux = -uj 2 -比 1 + eu2芯 coS6 x 丁 =J 2dx严 1 + ex21=2(忑 ex coS6 x ,(兀 cos6 x 丁j 2 dx + J 2 dx_工 1 + ex_工 1 + ex22I 2 cos6xdx0=f 2 cos 6xdx =2严25 3 1 兀5= _x X X = 兀.6 4 2 2 32这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：2 s
6、in n xdx =2 cosndx00n = 奇数n = 偶数 - C 3)4 x 2n(n - 2) 3 x 1 ，(n - )C 3)3 x 1 冗n(n - 2)4 x 2 2小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积 分区间为0, a时，设x = a-u ;积分区间为-a,a时，设x = -u。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。2）利用例 10.6（2）中同样的方法易得0x)g (cos x),f (cos x)兀os x)例5设f (x)在b,上具有二阶连续导数，广C )= 3,且 J f (x)+ f()cos xdx = 2
7、，求广(0)0解 J f (x)+ f rr(x )cos xdx0=J f (xsin x + J cos xdf (x)= sinsin x - f (x )dx +cos xf (x) + J sin x - f (x I/x=_广(-)_ fGL 20 0小结f (0)=_2_ f ()=_2_3=_5.(1) 定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择u,dv的原则;例62)当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.计算定积分J2n sin6xdx ( n为自然数).0解sin6 x是以为周期的偶函数.原式=2n卜sin6xdx = 2nJ2 sin6xdx = 4nJ
8、2sin6 xdx = 4兀?x x 1 x = n兀.o06 4 2282例7证明积分I二严0卡)与无关，并求值. + x2 丿1+ x ax 二= J+8( 瞬)，于是0 1 + x2 1 + xai=1J气年)+J(戦)0 1 + x 2 丿 1+ x a1 + x 2 丿 1+ x a 丿=2J :去=2arctan 叮=冷小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分 部积分法.含定积分的不等式的证明例8证明(1) x/2e-2 f 2 e-x2dx 0.一*x21) f (x ) =e - x2 在 I j 上连续，令 f ,(x)= e-x2( 2x)= 0
9、，得 x = 0.比较f -1 = e-2与f G)= 1的大小，知在吉占上的最大值为M = f(0)= 1，最小值为m = J点 e-x2dx 0， t e(0,兀)F (x )=4( sin t - e - sin t )sin tdt 0 0事实上，(2)中所给变上(下)限定积分与 x 无关，仅为取正值的常数. 例9设f G)是b,1上单调减少的正值连续函数，证明P fa f (x)dx a fP f (x)dx(0a P 1)0证 利用积分中值定理，P fa f (x)dx - a fP f (x)dx0a=P -af G )-a(P-a)f G )12(0a,a P 0 (因为 f
10、(x)递减取正值).1 2 2即pfa f (x I/x oj卩 f (x I/x(0 aB 1)|0a例10设f G)在b,b上连续且单调递增，证明：当0 a Jbf (xi/x- Jaf (xx.(10. 1)a2 02 0分析 将定积分不等式( 10. 1)视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的 证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将b换成u，作辅助函数FC)，即需 证 F (b) 0.证 作 F()=Jxf (x/x - Juf (x)dx + Jaf (xi/x(a u 0 (因为 fO 递增，f (u )- f (x ) 0 ) 0于是，由拉格朗日中值公式，有F(b)= F(
11、a)+ F此) - a)= F吃)b - a) 0.(a b)即式( 10. 1)成立.例11设fO在L, b上连续，且f (a )= 0，证明JbfO/x M,M = maxfCx).a2ax 0，使I f心) M，x ela, b|f (x) = |f (x)- f (a) = (x - a)fb ) M (x - a)Jbf (x)/x Jb|f (x/x 0，证明Jaf (xAx af .0k 2丿分析 已知f (x)二阶可导，可考虑利用f (x)的一阶泰勒公式估计f (x)；又所证的不等式中出现了点2，故考虑使用xo = |处的泰勒公式.证f 6）在2处的一阶泰勒公式为(a + fr a (a)x k 2丿k 2丿k 2丿+其中，&在x与2之间利用条件f ） 0，可得2丿两边从0到a取积分，得J af (xx02丿(a)x dx =af . 2丿2丿小结 关于
