《2024年中考数学真题专题提优训练_因式分解【教师版含答案】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年中考数学真题专题提优训练_因式分解【教师版含答案】（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2024年中考数学真题专题提优训练_因式分解【教师版含答案】一、作图题1数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释. 如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片. 用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解： 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) （1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ；（2）若解释因式分解 3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b) ，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼
2、成一个长方形，请画出相应的图形； （3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为 5a2+mab+b2 ，则m的值为 ，将此多项式分解因式为 【答案】（1）a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b).（2）解：如下图： （3）6；5a2+6ab+b2=(a+b)(5a+b).二、综合题2观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：甲：x22ax3a2x22axa2a23a2（xa）24a2（分成两组）（xa）2（2a）2（x3a）（xa）（平方差公式）乙：a2b2c22bca2（b2c22bc）（分成两组）=a2（bc）2（直接运用公式）（ab
3、c）（abc）（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）x24x3（2）x2-2xy-9+y2（3）x2+2xy+y2-6x-6y+9【答案】（1）解：x2-4x+3=x24x+44+3=(x2)21=(x2+1)(x21)=(x1)(x3)（2）解：x2-2xy-9+y2=x22xy+y29=(xy)232=(xy+3)(xy3)（3）解：x2+2xy+y2-6x-6y+9=(x+y)26(x+y)+9=(x+y3)23对多项式(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4进行因式分解时，小亮先设a2-4a=b，代入原式后得：原式=(b+2)(h+6)+4=b2+8b+1
4、6=(b+4)2=(a2-4a+4)2（1）小亮在因式分解时巧妙运用了以下那种数学思想：_； A整体换元思想B数形结合思想C分类讨论思想（2）请指出上述因式分解存在的问题并直接写出正确结果；（3）请参考以上方法对多项式(4a2+4a)(4a2+4a+2)+1进行因式分解。【答案】（1）A（2）存在的问题：分解不彻底： 正确结果：(a-2)4（3）设4a2+4a=b， 原式=b(b+2)+1 =b2+2b+1=(b+1)2=(4a2+4a+1)2=(2a+1)44因式分解 （1）x2（xy）+（yx） （2）a44a3b+4a2b2 【答案】（1）解：x2（xy）+（yx） =（xy）（x21）
5、=（xy）（x+1）（x1）（2）解：）a44a3b+4a2b2=a2（a24ab+4b2）=a2（a2b）25若x满足(5x)(x2)=2，求(x5)2+(2x)2的值.解：设5x=a，x2=b，则(5x)(x2)=ab=2，a+b=(5x)+(x2)=3，所以(x5)2+(2x)2=(5x)2+(x2)2=a2+b2=(a+b)22ab=3222=5.请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若 x 满足（x+2） （x-7）6，求（x+2）2+（x7）2的值.（2）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE1，CF3，长方形 EMFD 的面积是 35，分别
6、以 MF、DF 为边作正方形，求阴影部分的面积.【答案】（1）解：设x+2=a，x7=b，则ab=6，ab=9， (x+2)2+(x7)2=a2+b2=(ab)2+2ab=92+26=93（2）解：由题意得：MF=DE=x1，DF=x3， 则DEDF=(x1)(x3)=35，阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，阴影部分的面积为：MF2DF2=(x1)2(x3)2，设x1=m，x3=n，则mn=35，mn=2，(m+n)2=(mn)2+4mn=22+435=144，m+n=12或m+n=120（不符题意，舍去），(x1)2(x3)2=m2n2=(m+n)(mn)=12
7、2=24故阴影部分的面积为24.6把下列各式因式分解（1）5a3b10a2b+5ab（2）4x416【答案】（1）解：原式 =5ab（a2-2a+1）=5ab（a-1）2（2）解：原式 =4（x4-4）=4（x2+2）（x2-2）=4（x2+2）（x+2）（x-2)7阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： 83=6+23=2+23=223 .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 x1x+1 ， x2x1 这样的分
8、式就是假分式；再如： 3x+1 ， 2xx2+1 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： x1x+1=(x+1)2x+1=12x+1 ； 解决下列问题：（1）分式 5x 是 分式（填“真”或“假”）；（2）x2x1 将假分式化为带分式； （3）如果 x 为整数，分式 3x2x+1 的值为整数，求所有符合条件的 x 的值. 【答案】（1）真（2）解： x2x1 = x21+1x1 = x+1+1x1 ； （3）解： 3x+35x+1=35x+1 ， x 为整数，分式 3x2x+1 的值为整数，x+1=1，5，-1，-5，x=0，4，-2，-6.8
9、（1）已知x+4y=5，则x2+4xy+20y的值.（2）因式分解： 3x2+6xy3y2【答案】（1）解：x2+4xy+20y=x（x+4y）+20y x+4y=5，x（x+4y）+20y=5x+20y=5（x+4y）=55=25（2）解：3x2+6xy3y2=3（x22xy+y2）=3（x-y）29因式分解 （1）y36xy2+9x2y （2）（a+2）（a2）+3 【答案】（1）解：原式=y（y26xy+9x2）=y（y3x）2（2）解：原式=a24+3=a2110下面是某同学对多项式(x24x+2)(x24x+6)+4进行因式分解的过程.解：设x24x=y，原式=(y+2)(y+6)+
10、4=y2+8y+16=(y+4)2=(x24x+4)2回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果 ；（2）以上方法叫做“换元法”.请你模仿以上方法对(x22x)(x22x+2)+1进行因式分解.【答案】（1）不彻底；(x2)4（2）解：设x22x=y， (x22x)(x22x+2)+1=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x22x+1)2=(x1)4，11综合题。（1）分解因式： x2(xy)+(yx)（2）化简： (x3xx+1)x2x2+2x+1 【答案】（1）解：原式=x2(x-y)-(x-y)= (x
11、-y)(x2-1)= (x-y) (x+1) (x-1)（2）解：原式= x(x+1)x+13xx+1(x+1)2x2= x2+x3xx+1(x+1)2x2= x(x2)x+1x2 x2+x12分解因式：（1）x2+7x+10= ； 2x23x+1= ； （2）(x1)(x3)+1【答案】（1）(x+2)(x+5)；(x1)(2x1)（2）解： (x1)(x3)+1= x24x+4= (x2)213阅读某同学对多项式 (x24x+2)(x24x+6)+4 进行因式分解的过程，并解决问题： 解：设 x24x=y ，原式 =(y+2)(y+6)+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=(y+
12、4)2 （第三步）=(x24x+4)2 （第四步）（1）该同学第二步到第三步的变形运用了_（填序号）； A提公因式法B平方差公式C两数和的平方公式D两数差的平方公式（2）该同学在第三步用所设的的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？ （填“能”或“不能”）.如果能，直接写出最后结果 .（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 (x2+6x)(x2+6x+18)+81 进行因式分行解. 【答案】（1）C（2）能；(x2)4（3）解：设 x2+6x=y原式 =y(y+18)+81=y2+18y+81=(y+9)2=(x2+6x+9)2=(x+3)414分解因式：（1）y26y+
13、9（2）2x28【答案】（1）解： y26y+9 (y3)2（2）解： 2x28 2(x24) 2(x+2)(x2)15常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x24y22x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了过程为：x24y22x+4y=(x+2y)(x2y)2(x2y)=(x2y)(x+2y2)这种分解因式的方法叫分组分解法利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x22xy+y216；（2）已知：x+y=7，xy=5求：x2y22y+2x的值（3）ABC三边a，b，c满足a2abac+bc=0，判断ABC的形状【答案】（1）解：x22xy+y216=(xy)242=(xy+4)(xy4)；（2）解：x2y22y+2x=(x2y2)+(2x2y)=(xy)(x+y+2)x+y=7，xy=5，代入得：原式=(xy)(x+y+2)=5(7+2)=45（3）解：a2abac+bc=0a(ab)c(ab)=0，(ab)(ac)=0，a=b或a=c，ABC的形状是等腰三角形16八年级
