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1、高考数学精品复习资料 2019.5思想方法训练2分类讨论思想思想方法训练第4页一、能力突破训练1.已知函数f(x)=若存在x1,x2R,且x1x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是() A.(-,2)B.(-,4)C.2,4D.(2,+)答案：B解析：当-1时,显然满足条件,即a2a-5,即2a4.综上知,a0,且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.pqD.当a1时,pq;当0a1时,pq答案：C解析：当0a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,a3+1loga(a2+1),即pq.当a1时,y=a
2、x和y=logax在其定义域上均为增函数,a3+1a2+1,loga(a3+1)loga(a2+1),即pq.综上可得pq.4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率为()A.B.C.或D.或答案：C解析：当焦点在x轴上时,=,此时离心率e=;当焦点在y轴上时,=,此时离心率e=,故选C.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线答案：C解析：不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),
3、B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得x2+y2=,当=1时,曲线为A;当=2时,曲线为B;当0,且x1,则函数y=lg x+logx10的值域为()A.RB.2,+)C.(-,-2D.(-,-22,+)答案：D解析：当x1时,y=lg x+logx10=lg x+2=2;当0x0,且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大,则a的值是.答案：或解析：当a1时,y=ax在区间1,2上递增,故a2-a=,得a=;当0a1时,y=ax在区间1,2上递减,故a-a2=,得a=.故a=或a=.10.已知函数f(x)=|ln x|,
4、g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.答案：4解析：f(x)=g(x)=(1)当0x1时,方程化为|-ln x+0|=1,解得x=或x=e(舍去).所以此时方程只有一个实根.(2)当1x2时,方程可化为|ln x+2-x2|=1.设h(x)=ln x+2-x2,h(x)=-2x=.因为1x2,所以h(x)=0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln 1+2-12=1,h(2)=ln 2+2-22=ln 2-2,所以h(x)(ln 2-2,1).又ln 2-2-1,故当1x2时方程只有一解.(3)当x2时,方程可化为|ln x+x2-6|=1.记函数p(x
5、)=ln x+x2-6,显然p(x)在区间2,+)上单调递增.故p(x)p(2)=ln 2+22-6=ln 2-21,所以方程|p(x)|=1有两个解,即方程|ln x+x2-6|=1有两个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.已知函数f(x)=2asin2x-2asin xcos x+a+b(a0)的定义域为,值域为-5,1,求常数a,b的值.解f(x)=a(1-cos 2x)-asin 2x+a+b=-2asin+2a+b.x,2x+,-sin1.因此,由f(x)的值域为-5,1,可得或解得或12.设a0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1
6、)求曲线y=f(x)在(2,f(2)处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解(1)由已知x0,f(x)=x-(a+1)+.因为曲线y=f(x)在(2,f(2)处切线的斜率为1,所以f(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2)处的切线方程为x-y-2=0.(2)f(x)=x-(a+1)+=.当0a0,函数f(x)单调递增;若x(a,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+aln a,极小值是f(1)=-.当a
7、=1时,若x(0,1),则f(x)0,若x=1,则f(x)=0,若x(1,+),则f(x)0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.当a1时,若x(0,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增;若x(1,a),则f(x)0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+aln a.综上,当0a1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+aln a.二、思维提升训练13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为() A.3x+4y+15=0
8、B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0答案：D解析：若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为=,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.已知函数f(x)=其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案：(3,+)解析：当xm时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-
9、m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m2).函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m).(1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m2m,也就是m(m-3)0时,解得0m3,又因为m0,所以0m3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多只有两个交点,不合题意;(2)点P在点Q的下方时,即4m-m20时,解得m3,又因为m0,所以m3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多可有三个交点,符合题意.所以m3.15.若a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a),则当a=时,g(
10、a)的值最小.答案：2-2解析：当a0时,在区间0,1上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间0,1上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0a1时,f(x)=在区间内递增,在区间上递减,在区间(a,1上递增,且f=,f(1)=1-a,-(1-a)=(a2+4a-4),当0a2-2时,1-a.当2-2a1时,1-a;当1a0时,函数f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为直线x=.当1,即a1时,f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间0,1内,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,f(x)min=f=-=-.当1,即0a1时,函数f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间0,1的右侧,f(x)在0,1上单调递减,f(x)min=f(1)=a-2.(3)当a0时,函数f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=0,在y轴的左侧,函数f(x)=ax2-2x在区间0,1上单调递减,f(x)min=f(1)=a-2.综上所
