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1、2022年高中数学课时跟踪检测十八简单的线性规划问题苏教版必修5 1若变量x,y满足约束条件则x2y的最大值是_解析:作出题设约束条件的平面区域如图中阴影部分所示,平移直线l0:x2y0至点A时,x2y取得最大值由可得(x2y)max2.答案:2已知a0,x,y满足约束条件若z2xy的最小值为1,则a等于_解析:由已知约束条件,作出可行域如图中ABC内部及边界部分,由目标函数z2xy的几何意义为直线l:y2xz在y轴上的截距,知当直线l过可行域内的点A(1,2a)时,目标函数z2xy的最小值为1,则22a1,a.答案:3已知实数x,y满足不等式组若目标函数zyax取得最大值时的唯一最优解是(1
2、,3),则实数a的取值范围为_解析:作出如图可行域,由zyax得yaxz可知,直线在y轴上的截距最大时,z最大,结合图象可知,在A(1,3)处取得最大值,需a1.答案:(1,)4若变量x,y满足约束条件则zx2y的最大值为_解析:如图,画出约束条件表示的可行域,当目标函数zx2y经过xy0与xy20的交点A(1,1)时,取到最大值3.答案:35如图所示,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动,那么2xy的最小值为_解析:由图知,目标函数在点A(1,1)时,2xy1;在点B(,)时,2xy21;在点C(,1)时,2xy211;在点D(1,0)时,2xy2021,故最小值为1.答案:16已知
3、实数x,y满足若zyax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a的值为_解析:依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域,如图所示要使zyax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则直线zyax必平行于直线yx10,于是有a1.答案:17如果实数x,y满足条件那么z4x2y的最大值为_解析:可行域为如图所示的阴影部分,A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(2,1),(0,1),直线y2xt过点B(2,1)时,t取得最大值3,故z4x2y22xy的最大值为8.答案:88设变量x,y满足约束条件且不等式x2y14恒成立,则实数a的取值范围是_解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所
4、示,显然a8,否则可行域无意义由图可知x2y在点(6,a6)处取得最大值2a6,由2a614得,a10.答案:8,109直线l:xmyn(n0)过点A(4,4),若可行域的外接圆直径为.求实数n的值解:作出可行域如图所示,过原点的直线OA的倾斜角为60,由直线l:xmyn(n0)过点A(4,4),可得44mn.又由可解得两直线的交点坐标即为A(4,4),又点B坐标为(n,0),AB7,(4n)2(4)249,n3或5.10已知x,y满足条件:求:(1)4x3y的最大值和最小值;(2)x2y2的最大值和最小值解:(1)作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示其中A(4,1),B(1,6),C(
5、3,2),设z4x3y.直线4x3y0经过原点(0,0)作一组与4x3y0平行的直线l:4x3yt.则当l过C点时,t值最小;当l过B点时,t值最大z最大值4(1)3(6)14,z最小值4(3)3218.故4x3y的最大值为14,最小值为18.(2)设ux2y2,则为点(x,y)到原点(0,0)的距离结合不等式组所表示的区域,不难知道:点B到原点距离最大;而当(x,y)在原点时,距离为0.u最大值(1)2(6)237,u最小值0,x2y2的最大值为37,最小值为0.层级二应试能力达标1设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_解析:作出可行域,如图中阴影部
6、分所示,则根据图形可知,点B(1,0)到直线2xy0的距离最小,d1,故最小距离为.答案:2若实数x,y满足则z3x2y的最小值是_解析:由已知不等式组作可行域如图阴影部分所示令x2yk,则yx,问题由求k的最小值转化为求直线yx的纵截距的最小值显然当直线yx过原点O时,截距最小,此时kmin0,z3x2y的最小值为1.答案:13已知x,y满足不等式组且z2xy的最大值是最小值的3倍,则a_.解析:依题意可知a0,a1)的图象过区域M的a的取值范围是_解析:作二元一次不等式组的可行域如图所示,由题意得A(1,9),C(3,8)当yax过A(1,9)时,a取最大值,此时a9;当yax过C(3,8
7、)时,a取最小值,此时a2,2a9.答案:2,95设变量x,y满足约束条件则满足函数y2xt的t最大值为_解析:由约束条件作出可行域如图所示,可知(x,y)是由点A(1,0),B(2,1),C(2,1)三点组成的三角形区域,令t2xy,即当经过C(2,1)时,t有最大值5.答案:56若变量x,y满足约束条件且z5yx的最大值为a,最小值为b,则loga(b)_.解析:由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分由z5yx,得y.由图知目标函数y,过点A(8,0)时,zmin5yx5088,即b8.目标函数y过点B(4,4)时,zmax5yx54416,即a16.所以loga(b)log168.答
8、案:7某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元);(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy,所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为2x3y300,作出可行域,如图所示,作初始直线l0:2x3y0,平移l0,当l0经过点A时,有最大值,由
9、得最优解为A(50,50),此时max550元故每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,且最大利润为550元8已知x,y满足约束条件(1)求目标函数z2xy的最大值和最小值;(2)若目标函数zaxy取得最大值的最优解有无穷多个,求a的值;(3)求z的取值范围解:作可行域如图所示(1)作直线l:2xy0,并平移此直线,当平移直线过可行域内的A点时,z取最小值;当平移直线过可行域内的B点时,z取得最大值由得A.由得B(5,3)zmax25313,zmin21.(2)一般情况下,当z取得最大值时,直线所经过的点都是唯一的,但若直线平行于边界直线,即直线zaxy平行于直线3x5y30时,线段BC上的任意一点均使z取得最大值,此时满足条件的点即最优解有无数个又kBC,a.a.(3)z,可看作区域内的点(x,y)与点D(5,5)连线的斜率,由图可知,kBDzkCD.由得C.kBD,kCD,z的取值范围是.