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1、 高三数学跨越一本线精品问题二 函数中存在性与恒成立问题 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.与恒成立及存在性问题有关的知识如下：(1)恒成立问题. xD,均有f(x)A恒
2、成立,则f(x)minA；. xD,均有f(x)A恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x)min 0；. xD,均有f(x)g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x) max g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max；. x1D, x2E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x) max A成立,则f(x) max A；. x0D,使得f(x0)A成立,则 f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x), F(x) max 0；. x0D,使得f(x0) g(x0)成立,设F(x)=
3、 f(x)- g (x), F(x) min g(x2)成立,则f(x) max g(x) min；. x1D, x2E,均使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) min g(x2)成立,则f(x)min g(x) min；x1D, x2E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) max g(x) max.解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；分离参数法；主参换位法；数形结合法等.一、函数性质法【例1】已知函数f(x)x3ax210,若在区间1,2内至少存在一个实数x,使得f(x)0成立,求实数a的取值范围【分析】本题实质是存在性问题【解析】解法一：f(x
4、)3x22ax3x(1x2),当a1,即a时,f(x)0,f(x)在1,2上为增函数,故f(x)minf(1)11a,所以11a11,这与a矛盾当1a2,即a3时,当1xa,f(x)0；当a0,所以xa时,f(x)取最小值,因此有f0,即a3a310a3103,这与a3矛盾；当a2,即a3时,f(x)0,f(x)在1,2上为减函数,所以f(x)minf(2)184a,所以184a,这符合a3.综上所述,a的取值范围为a.解法二：由已知得：ax,设g(x)x(1x2),g(x)1,1x2,g(x).【点评】 解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用的
5、参数分离,由于ax2x310中x21,4,所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论【牛刀小试】【20xx山西大学附中第二次模拟】设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D二、分离参数法【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为(1)求实数的值；(2)若对任意成立,求实数的取值范围.【分析】（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为,可知,可建立关于的方程：,从而解得；（2）要使对任意恒成立,只需即可,而由（1）可知,问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数的单调性,从而求得其最值：,令,解得,当时,在上是增函数；当时,在上是
6、减函数,因此在处取得最大值,即为所求.【解析】(1), 又的图象在点处的切线的斜率为,即,； (2)由（1）知,对任意成立对任意成立, 令,则问题转化为求的最大值,令,解得, 当时,在上是增函数；当时,在上是减函数 故在处取得最大值,即为所求. 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式,（为实参数）恒成立中参
7、数的取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；(2)求在上的最大（或最小）值；(3)解不等式 (或) ,得的取值范围.【牛刀小试】【20xx湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数,其中且,(1)若,且时,的最小值是2,求实数的值；(2)若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1),易证在上单调递减,在上单调递增,且,当时,由,解得（舍去）当时,由,解得.综上知实数的值是.三、主参换位法【例3】已知函数是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数,(1)求的值；(2)若上恒成立,求的取值范围.【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字
8、母：及,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解.【解析】(1) (2)由(1)知：,在上单调递减,在上恒成立,只需,（其中）恒成立,由上述结论：可令,则,而恒成立,.【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算
9、繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.【牛刀小试】若不等式对任意恒成立,求实数x的取值范围. 【答案】【解析】可转化为,设,则是关于m的一次型函数,要使恒成立,只需,解得.四、数形结合法【例4】已知函数,在恒有,求实数的取值范围.【分析】为了使题中的条件在恒成立,应能想到构造出一个新的函数,则可把原题转化成所构造新的函数在区间时恒大于等于的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决.【解析】令,则对恒成立,而是开口向上的抛物线.当图象与x轴无交点满足,即,解得.当
10、图象与x轴有交点,且在时,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： 解得,故由知.【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数大于0恒成立,则有,同理,若二次函数小于0恒成立,则有.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【牛刀小试】【20xx河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在上的奇
11、函数满足:当时,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（ ）A BC. D【答案】A五、存在性之常用模型及方法【例5】设函数,且.曲线在点处的切线的斜率为.（1）求的值；（2）若存在,使得,求的取值范围.【分析】（1）根据条件曲线在点处的切线的斜率为,可以将其转化为关于,的方程,进而求得的值：,；（2）根据题意分析可得若存在,使得不等式成立,只需即可,因此可通过探求的单调性进而求得的最小值,进而得到关于的不等式即可,而由（1）可知,则,因此需对的取值范围进行分类讨论并判断的单调性,从而可以解得的取值范围是.当时,在上,为增函数,令,即,解得. 当时,极小值,不合题意,无解,10分当时,显
12、然有,不等式恒成立,符合题意, 综上,的取值范围是. 【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为的否定为；原命题为的否定为“.处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题.【牛刀小试】已知, (1)若存在,使得,求实数的取值范围； (2)若存在,使得,求实数的取值范围.【解析】在上都是增函数,所以的值域的值域.(1) 若存在,使得,则,即4,所以.(2)若存在使得,则,且,实数的取值围是. 【迁移运用】1.【20xx宁夏育才中学上学期第二次月考】设函数,. 若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】易得是奇函数,在上是增函数,又 ,故选D.2.【20xx河北省武邑中学2高三上学期第三次调研】 若对,不等式,恒成立,则实数的最大值是（ ）A B C. D【答案】D3.【20xx山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知函数,若存在,使得,则实数的取值范围是（ ）A B C. D【答案】C【解析】由题意,得,则若存在,使得,则,所以设,则,当时,；当时,所以在上单调递
