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1、2022年高三第一次统一考试数学理 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。共150分。考试时间120分钟。第I卷(选择题共40分)参考公式: 如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立,那么其中R表示球的半径 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的球的体积公式 概率是P,那么n次独立重复试验 中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 一. 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)不等式的解集是( ) A. B. C. D. (2)在下列给定的区间
2、中,使函数单调递增的区间是( ) A. B. C. D. (3)已知直线a、b和平面M,则的一个必要不充分条件是( ) A. B. C. D. 与平面M成等角 (4)数列的前n项和为,则这个数列一定是( ) A. 等差数列B. 非等差数列 C. 常数数列D. 等差数列或常数数列 (5)设分别是双曲线的半焦距和离心率,则双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离是( ) A. B. C. D. (6)定义运算,则符合条件的复数z为( ) A. B. C. D. (7)已知函数,则的反函数为( ) A. B. C. D. (8)有一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为a,现用一张正方形包装纸将其完全包
3、住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为( ) A. B. C. D. 第II卷(非选择题 共110分)二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。将答案填在题中横线上。 (9)函数的最小正周期是_,其图象的相邻两条对称轴之间的距离是_。 (10)将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球,则这个球的体积为_,球的表面积为_(不计损耗)。 (11)圆C:(为参数)的普通方程为_,设O为坐标原点,点M()在C上运动,点P(x,y)是线段OM的中点,则点P的轨迹方程为_。 (12)设P(x,y)是图中四边形内的点或四边形边界上的点(即x、y满足的约束条件),则的最大值是_。
4、 (13)某人进行射击,每次中靶的概率均为0.8。现规定:若中靶就停止射击;若没中靶,则继续射击。如果只有3发子弹,则射击次数的数学期望为_(用数字作答)。 (14)已知函数是R上的减函数,A(0,-3),B(-2,3)是其图象上的两点,那么不等式的解集是_。三. 解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)(本小题满分14分) 已知函数 (I)证明:函数是奇函数; (II)求的单调区间。 (16)(本小题满分14分) 已知 (I)求的值; (II)求证:与互相垂直; (III)设且,求的值。 (17)(本小题满分14分) 某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两
5、支球队之间进行,比赛采用五局三胜制,即哪个队先胜三场即可获得总冠军。已知在每一场比赛中,甲队获胜的概率均为,乙队获胜的概率均为。求: (I)甲队以3:0获胜的概率; (II)甲队获得总冠军的概率。 (18)(本小题满分14分) 直三棱柱ABC-A1B1C1中,E是A1C的中点,且交AC于D,。 (I)证明:平面; (II)证明:平面; (III)求平面与平面EDB所成的二面角的大小(仅考虑平面角为锐角的情况)。 (19)(本小题满分12分) 自点A(0,-1)向抛物线作切线AB,切点为B,且点B在第一象限,再过线段AB的中点M作直线与抛物线C交于不同的两点E、F,直线AF、AE分别交抛物线C于
6、P、Q两点。 (I)求切线AB的方程及切点B的坐标; (II)证明 (20)(本小题满分12分) 把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表:13 57 9 11 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。 (I)若,求的值; (II)已知函数的反函数为 ,若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为,求数列的前n项和。朝阳区高三第一次统一考试数学(理工农医类)参考答案及评分标准一. 选择题: 1. C2. A3. D4. B5. D6. A7. C8. B二. 填空题: 9. ,10. 11. , 12. 213. 1.2414. 三. 解答题: 15. 解
7、:(I)证明:显然的定义域是R。设任意, ,4分 函数是奇函数6分 (II)解:,8分 令,由,解得10分 由此可知,当时, 所以函数的单调增区间是(-1,1);12分 当或时, 所以函数的单调减区间分别是(,-1),(1,)14分 (写出的区间,无论是否包含端点均可给分。) 16. 解:(I)解:3分 (II)证明: 6分 , 8分 (III)解: ,10分 ,12分 又 14分 17. 解:(I)设“甲队以3:0获胜”为事件A,则3分 (II)设“甲队获得总冠军”为事件B, 则事件B包括以下结果:3:0;3:1;3:2三种情况 若以3:0胜,则;6分 若以3:1胜,则9分 若以3:2胜,则
8、12分 所以,甲队获得总冠军的概率为14分 18. (I)证: 三棱柱中,1分 又平面,且平面, 平面3分 (II)证: 三棱柱中, 中 是等腰三角形6分 E是等腰底边的中点, 又依条件知 且 由,得平面EDB8分 (III)解: 平面, 且不平行, 故延长,ED后必相交, 设交点为E,连接EF,如下图 是所求的二面角10分 依条件易证明 为中点, A为中点 即12分 又平面EFB, 是所求的二面角的平面角13分 E为等腰直角三角形底边中点, 故所求的二面角的大小为14分 19. 解:(I)由题意可设切线AB的方程为:, 代入得, 点B在第一象限,。切线AB的方程为:2分 切点B的坐标为(1,
9、1)4分 (II)由(I)线段AB的中点M,设直线的方程为, 点E()、F()、P()、Q() 由得6分 直线与抛物线C交于不同的两点E、F, 。解得或 , A、P、F共线,8分 10分 同理由A、E、Q共线得 12分 20. 解:(I)三角形数表中前行共有个数, 第行最后一个数应当是所给奇数列中的第项。 故第行最后一个数是2分 因此,使得的m是不等式的最小正整数解。 由得 于是,第45行第一个数是 4分 (II),。 故6分 第n行最后一个数是,且有n个数,若将看成第n行第一个数,则第n行各数成公差为-2的等差数列,故。 8分 故 , 两式相减得: 10分 12分 注:1. 如有不同解法,请阅卷老师酌情给分; 2. 两个空的填空题,做对一个给3分。