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1、2022版高中数学第一章计数原理课时训练02分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用新人教B版选修2 (限时:10分钟)1由1,2,3,4,5这5个数字组成无重复数字的五位数中,小于50 000的偶数有()A60个B48个C36个 D24个解析:分两类:第一类,末位数字为2,依次确定万位、千位、百位、十位上的选择方法,可得N1332118(个)第二类,末位数字为4,同第一类办法,可得N2332118(个)所以,满足题目条件的数共有NN1N236(个)答案:C2如图所示,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的两块种不同的花,则不同的种法总数为()
2、A96 B84C60 D48解析:按A,B,C,D的顺序种花,分两类:A,C种同一种花,共有:43336(种);A,C种不同种花,共有432248(种),共计364884(种)答案:B3如图,四边形ABCD中,若把顶点A,B,C,D染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有_种解析:不妨从点A涂起,则A,C可同色,也可不同色,故可分两类,第一类,若A,C同色,涂A有3种方法,涂B有2种方法,涂D有2种方法,共计32212(种)方法;第二类,若A,C不同色,涂A有3种方法,涂C有2种方法,涂B有1种方法,涂D有1种方法,共计32116(种)方法所以不同的染色
3、方法共有12618(种)答案:184如图,要给地图上A,B,C,D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有_种解析:按地图A,B,C,D四个区域依次分四步完成,第一步涂A,有3种涂色方法;第二步涂B,有2种涂色方法;第三步涂C,有1种涂色方法;第四步涂D,有1种涂色方法所以根据分步乘法计数原理,得到不同的涂色方案共有N32116(种)答案:65将数字7,8,9与符号“”“”五个字符都填入下列表格的五个空格中,任意两个数字都不相邻,共有多少种不同的填法?12345解析:根据题意,分两步进行,第一步,填数字:数字只能填在1,3,5
4、的位置,共有3216(种)方法;第二步,填符号,只能填在2,4的位置,共有212(种)方法,所以共有N6212(种)不同的填法(限时:30分钟)一、选择题1甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A6种B12种C24种 D30种解析:分步完成首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法,其次甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法,最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方法,于是,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有43224(种)答案:C2现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()A56 B
5、65C. D65432解析:要完成选择听讲座这件事,需要分六步完成,即6名同学逐个选择要听的讲座,因为每名同学均有5种讲座可选择,由分步乘法计数原理,6位同学共有55555556种不同的选法答案:A3从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A24 B18C12 D6解析:(1)当从0,2中选取2时,组成的三位奇数的个位只能是奇数,只要2不排在个位即可,先排2再排1,3,5中选出的两个奇数,共有23212(个)(2)当从0,2中选取0时,组成的三位奇数的个位只能是奇数,0必须在十位,只要排好从1,3,5中选出的两个奇数共有326(个)综上,由分
6、类加法计数原理知共有12618(个)答案:B4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有()A24种 B18种C12种 D6种解析:方法一:(直接法)若黄瓜种在第一块土地上,则有3216种不同的种植方法同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3216种不同的种植方法故不同的种植方法共有6318种方法二:(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上,有43224种方法,其中不种黄瓜有3216种方法,故共有不同的种植方法24618种答案:B5如图所示,用不同的五种颜色分别为A,B,C,D,E五部分着色,相邻部分不能用同一种颜色,但同
7、一种颜色可以反复使用,也可不使用,则符合这些要求的不同着色的方法共有()A.500种 B520种C540种 D560种解析:按照分步计数原理,先为A着色共有5种,再为B着色共有4种(不能与A相同),接着为C着色有3种(不与A,B相同),同理依次为D,E着色各有3种,所以不同着色的方法共有N5433540(种)答案:C二、填空题6湖北省(鄂)分别与湖南(湘)、安徽(皖)、陕西(陕)三省交界(如图),且湘、皖、陕互不交界,在地图上分别给各省地域涂色,要求相邻省涂不同色,现有五种不同颜色可供选用,则不同的涂色方法有_种解析:由题意知本题是一个分步乘法计数问题,首先涂陕西,有5种结果,再涂湖北省,有4
8、种结果,第二步涂安徽,有4种结果,再涂湖南有4种,即5444320.答案:3207某城市在中心广场建造了一个花园,花园分为6个部分(如图所示),现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_种(用数字作答)解析:根据6个部分的对称性,按同色、不同色进行分类:(1)4,6同色,1有四种颜色可选,5有三种颜色可选,4有两种颜色可选,2有两种颜色可选,3只有一种颜色可选,共有4322148(种)(2)4,6不同色,1有四种颜色可选,5有三种颜色可选,4有两种颜色可选,6有一种颜色可选,若2与4同色,则3有两种,若2与4不同色,则3有一种,共有4321(21
9、)72(种)故共有120种不同的栽种方法答案:120三、解答题8从1到200的自然数中,各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个?解析:从整体看需分类完成, 用分类计数原理从局部看需分步完成,用分步计数原理第一类:一位数中除8外符合要求的有8个(0除外);第二类:两位数中,十位上数字除0和8外有8种情况,而个位数字除8外,有9种情况共有(89)个符合要求;第三类:三位数中,百位上数字是1的,十位和个位上数字除8外均有9种情况,共有(99)种而百位数字上是2的只有200符合所以总共有889991162(个)9某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的6个点A,B,C,A1,B1
10、,C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种?解析:第一步,在点A1,B1,C1上安装灯泡,A1有4种方法,B1有3种方法,C1有2种方法,共有43224(种)方法第二步,从A,B,C中选一个点安装第4种颜色的灯泡,有3种方法第三步,再给剩余的两个点安装灯泡,共有3种方法,由分步乘法计数原理可得,共有43233216(种)方法10已知集合Aa,b,c,集合B1,0,1(1)从集合A到B能构造多少个不同的映射?(2)满足f(a)f(b)f(c)0的映射有多少个?解析:(1)每个元素a,b,c都可以有3个象和它对应,故从A到B能构造3332
11、7个不同的映射(2)列表如下:f(a)0001111f(b)0110110f(c)0111001从表中可知满足f(a)f(b)f(c)0的映射有7个11用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色.1423(1)共有多少种不同的涂色方法?(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法?解析:(1)由于1至4号区域各有5种不同的涂法,故依分步计数原理知,不同的涂色方法有54625(种)(2)第一类:1号区域与3号区域同色时,有541480(种)涂法;第二类:1号区域与3号区域异色时,有5433180(种)涂法依据分类计数原理知,不同的涂色方法有80180260(种).