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1、高考数学精品复习资料 2019.5专题对点练8导数与函数的零点及参数范围专题对点练第8页1.(20xx江西南昌十所重点学校二模,理21)已知函数f(x)=ex(sin x+cos x)+a,g(x)=(a2-a+10)ex(aR且a为常数).(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线过点(1,2),求实数a的值;(2)判断函数(x)=+1+ln x(b1)在(0,+)内的零点个数,并说明理由.解 (1)f(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x,又曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线过点(1,2),得f(0)=,即2=1-a,解得a=-
2、1.(2)由(x)=+1+ln x=0(x0),得+1+ln x=0,化为=1-x-xln x,令h(x)=1-x-xln x,则h(x)=-2-ln x.由h(x)=-2-ln x=0,得x=e-2,故h(x)在内递增,在内递减,h(x)max=h=1+.再令t(x)=bex,因为b1,所以函数t(x)=bex在(0,+)内递增,t(x)t(0)=be0=b1+.故t(x)h(x)max,由此判断函数(x)在(0,+)内没有零点,故(x)零点个数为0.2.(20xx山西第四次五校联考,理21)设函数f(x)=ln x-ax(aR).(1)求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线L的方程
3、,并证明:除点A外,曲线y=f(x)都在直线L的下方;(2)若函数h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)内有零点,求a的取值范围.解 (1)f(x)=-a,f(1)=1-a,f(1)=-a,L的方程为y+a=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x-1.设p(x)=f(x)-(1-a)x+1=ln x-x+1,则p(x)=,若x1,则p(x)0;若0x0.p(x)max=p(1)=0,p(x)0,f(x)(1-a)x-1,当且仅当x=1时,取等号.故除点A外,曲线y=f(x)都在直线L的下方.(2)h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)内有零点,即a=在x(1,3)内有实数解.设F(x)=
4、,则F(x)=,设g(x)=ex(x-1)+1-ln x,则g(x)=x,数形结合得函数y=ex-(x0)的零点在(0,1)上,且y0在(1,3)内恒成立,g(x)0,即g(x)在(1,3)内单调递增,g(x)g(1)=1,则F(x)0在(1,3)内恒成立,F(x)在(1,3)内递增,F(x),a.导学号168041733.(20xx贵州贵阳二模,理21)已知函数f(x)=(x2-2x)ln x+ax2+2,g(x)=f(x)-x-2.(1)当a=-1时,求f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若a0且函数g(x)有且仅有一个零点,求实数a的值;(3)在(2)的条件下,若e-2xe时,g
5、(x)m恒成立,求实数m的取值范围.解 (1)当a=-1时,f(x)=(x2-2x)ln x-x2+2,定义域为(0,+),f(x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x,f(1)=-3,又f(1)=1,f(x)在(1,f(1)处的切线方程为3x+y-4=0.(2)令g(x)=f(x)-x-2=0,则(x2-2x)ln x+ax2+2=x+2,即a=,令h(x)=,则h(x)=-,令t(x)=1-x-2ln x,则t(x)=-1-,x(0,+),t(x)0,t(x)在(0,+)内是减函数,又t(1)=h(1)=0,当0x0,当x1时,h(x)0,又h=1-e0,h(e2)=0,当函数g(x)
6、有且仅有一个零点时,a=1.(3)当a=1,g(x)=(x2-2x)ln x+x2-x,若e-2xe,g(x)m,只需证明g(x)maxm,g(x)=(x-1)(3+2ln x),令g(x)=0得x=1或x=,又e-2xe,函数g(x)在(e-2,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,即x=是g(x)的极大值点,又g()=-e-3+2,g(e)=2e2-3e,且g()=-e-3+222e2e=g(e),g()0).(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;(2)证明当a,b1时,f(ln b).(1)解 函数f(x)=ln x+的定义域为(0,+),由f(x)=ln
7、 x+,得f(x)=,因为a0,所以当x(0,a)时,f(x)0.所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,当x=a时,f(x)min=ln a+1,当ln a+10,即00,则函数f(x)有零点.所以实数a的取值范围为.(2)证明 要证明f(ln b),即证ln(ln b)+,令t=ln b0(b1),则b=et,所以只需证ln t+e-t,整理得tln t+ate-t,令h(x)=xln x+a,则h(x)=ln x+1.当0x时,h(x)时,h(x)0.所以函数h(x)在内单调递减,在内单调递增,当x=时,h(x)min=-+a.于是,当a时,h(x)-+a.令(x)=xe-x,则(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).当0x0;当x1时,(x)0时,(x).显然,不等式,中的等号不能同时成立,故当x0,a时,xln x+axe-x.因为b1,所以ln b0.所以ln bln(ln b)+aln be-ln b.所以ln(ln b)+,即f(ln b).导学号16804175
