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1、2022年高考数学 单元评估检测(八)第八章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x+2ay-5=0与直线ax+4y+2=0平行,则a的值为()A.2B.2C.D.【解析】选D.因为直线x+2ay-5=0与直线ax+4y+2=0平行,所以,即2a2=4,解得a=,经检验都符合题意.2.(xx湖南六校联考)已知双曲线的标准方程为-y2=1,则它的焦点坐标为()A.(1,0)B.(,0)C.(0,)D.(0,1)【解析】选B.因为a=,b=1,所以c=且焦点在x轴上,所以它的焦点坐标是(,0).3.(x
2、x肇庆模拟)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8【解析】选A.根据题意直线x-y+1=0与x轴的交点为 (-1,0),因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d=则圆的方程为(x+1)2+y2=2.4.已知椭圆=1的焦点是F1,F2,如果椭圆上一点P满足PF1PF2,则下面结论正确的是()A.P点有两个B.P点有四个C.P点不一定存在D.P点一定不存在【解析】选D.设椭圆的基本量为a,b,c,则a=5,b
3、=4,c=3.以F1F2为直径构造圆,可知圆的半径r=c=30,b0)的虚轴的上顶点是A,右焦点是F,O为坐标原点,点P满足=,若直线OP的倾斜角是60,则该双曲线的离心率是()【解析】选B.由题意可知A(0,b),F(c,0),又=,所以因为直线OP的倾斜角是60,所以kOP=,4b2=3c2,则a2=c2-b2=c2-,故离心率e=2.6.(xx兰州模拟)已知圆O1:(x-a)2+(y-b)2=4,圆O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1(a,bR),那么两圆的位置关系是()A.内含B.内切C.相交D.外切【解析】选C.因为圆O1:(x-a)2+(y-b)2=4,圆O2:(x-a-1
4、)2+(y-b-2)2=1,圆O1的圆心坐标是(a,b),半径为2,圆O2的圆心坐标是(a+1,b+2),半径为1,所以两圆的圆心距为:因为13,所以两圆的位置关系是相交.故选C.7.命题p:4r0)上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于5,所以圆(x-3)2+(y+5)2=r2上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1时,4rb0,e1,e2分别为圆锥曲线=1的离心率,则lg e1+lg e2的值()A.大于0且小于1B.大于1C
5、.小于0D.等于0【解析】选C.由题意,得(ab0),所以e1e2=所以lg e1+lg e2=lg(e1e2)=0,b0)的左支上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且PF1PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是()【解析】选A.在F1F2P中,点N恰好平分线段PF2,点O恰好平分线段F1F2,所以ONPF1,又ON的斜率为,所以tanPF1F2=,在F1F2P中,设|PF2|=bt,|PF1|=at,根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a,所以bt-at=2a,在RtF1F2P中,|PF2|2+|PF1|2=4c2,由
6、消去t,得(a2+b2)=4c2,又c2=a2+b2,所以a2=(b-a)2,即b=2a,双曲线的离心率是10.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出A,B两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选B.因为双曲线的离心率为2,所以e2=4,即b2=3a2,所以双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=x,代入y2=2px(p0),得x=p或x=0,故xA=x
7、B=p,又|AF|=xA+=7,所以p=6.【加固训练】(xx衡水模拟)若双曲线=1(a0,b0)与椭圆=1(mb0)的离心率之积等于1,则以a,b,m为边长的三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选B.设双曲线离心率为e1,椭圆离心率为e2,(m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.11.(xx兰州模拟)已知双曲线=1(a0,b0)与抛物线y2=2px(p0)有一个共同的焦点F,点M是双曲线与抛物线的一个交点,若|MF|=p,则此双曲线的离心率等于()【解析】选A.因为抛物线y2=2px(p0
8、)的焦点所以由题意知双曲线=1的一个焦点为F(c,0),所以c=a,(1)即p2a.所以双曲线方程为=1,因为点M是双曲线与抛物线的一个交点,若|MF|=p,则M点横坐标xM=,代入抛物线y2=2px得得9p4-148p2a2+64a4=0,解得p=4a或p=a,因为p2a,所以p=a舍去,故p=4a.(2)联立(1)(2)两式得c=2a,即e=2.12.若直线y=-x+1与椭圆C:=1(ab0)相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过点O(其中O为坐标原点),当椭圆C的离心率e时,椭圆C的长轴长的最大值是()【解析】选A.由,消去y整理得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,由
9、=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)0,整理得a2+b21.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1,又OAOB,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0,整理得a2+b2-2a2b2=0.因为b2=a2-c2=a2-a2e2,代入上式得2a2=1+,所以a2=因为e所以4,所以,符合条件a2+b21,所以,所以,故椭圆C的长轴长的最大值为.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若A,B为椭圆C:=1(ab0)长轴的两个端点,垂直于x轴的直线
10、与椭圆交于点M,N,且kAMkBN=,则椭圆C的离心率为.【解析】设M(x,y),则N(x,-y),解得离心率e=.答案: 14.(xx银川模拟)设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线的左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为.【解析】由题意可得|AF2|-|AF1|=2a=4,|BF2|-|BF1|=2a=4,两式相加得|AF2|+|BF2|-|AB|=8,所以|AF2|+|BF2|=8+|AB|当且仅当ABx轴时取等号,所以|BF2|+|AF2|的最小值为11.答案:1115.(xx长春模拟)已知双曲线=1(a0,b0),且双曲线的一条渐近线截圆(x-
11、3)2+y2=8所得弦长为4,则双曲线的离心率为.【解析】双曲线=1的渐近线方程为y=x,不妨设y=x,即bx-ay=0,又该渐近线截圆(x-3)2+y2=8所得弦长为4,所以圆心到该直线的距离为d=2,即2=,即2c=3b,所以4c2=9b2=9(c2-a2),9a2=5c2,答案:16.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F与双曲线=1的右焦点重合,过定点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A,B两点,则弦AB的中点到抛物线的准线的距离为.【解析】由题意,设抛物线的方程为y2=2px(p0),因为双曲线=1的右焦点坐标为(3,0),所以=3,即p=6,所以抛物线的标准方程为y2=12x.
12、过定点P(2,0)且斜率为1的直线l的方程为y=x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y可得x2-16x+4=0,所以x1+x2=16,线段AB的中点到抛物线的准线的距离为答案:11三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(xx福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.(1)如果直线l过抛物线的焦点,求的值.(2)如果=-4,证明:直线l必过一定点,并求出该定点.【解析】(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4=
13、0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.(2)设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4b,所以=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4,所以b2-4b+4=0,所以b=2,所以直线l过定点(2,0).所以若=-4,则直线l必过一定点(2,0).18.(12分
