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1、第12练函数的零点关键抓住破题题眼题型一函数零点所在区间问题例1函数f(x)ln 的零点所在的大致区间是(n，n1)，则n_.破题切入点确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间答案2解析f(x)ln ln(x1)，函数的定义域为(1，)当1x2时，ln(x1)0，所以f(x)0，故函数在(1,2)上没有零点f(2)ln 110，f(3)ln 2，因为22.828，所以e，故 ln eln ，即1ln 8，所以2ln 8，即f(3)0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)在(2,3)上必存在零点又由复合函数的单调性判断方法可知f(x)在(1，)单调递减，故n2
2、.题型二函数零点个数问题例2已知f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，方程f(x)0在0,1内有且只有一个根x，则f(x)0在区间0,2 014内根的个数为_破题切入点由条件推出f(x)是周期等于2的周期函数，且关于直线x1对称根据f()0，可得f()0，从而得到函数f(x)在一个周期内的零点个数，最后得到f(x)0在区间0,2 014内根的个数答案2 014解析由f(x1)f(x1)，可知f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)f(x2)，可知函数f(x)关于直线x1对称，因为函数f(x)0在0,1内有且只有一个根x，所以函数f(x)0在区间0,2 014内根的个数为2
3、 014.题型三由函数零点求参数范围问题例3函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x2)f(x)当x0,1时，f(x)2x.若在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_破题切入点由条件得出函数性质，准确画出图象，结合图象解决答案a解析由f(x2)f(x)得函数的周期是2.由ax2af(x)0得f(x)ax2a，设yf(x)，yax2a，作出函数yf(x)，yax2a的图象，如图，要使方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则直线yax2aa(x2)的斜率满足kAHakAG，由题意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(2,0)，所以kAH，kA
4、G，所以a0)的解的个数是_答案2解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点3定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为_答案12a解析当0x1时，f(x)0.由F(x)f(x)a0，画出函数yf(x)与ya的图象如图函数F(x)f(x)a有5个零点当1x0时，0x1，所以f(x)log0.5(x1)log2(1x)，即f(x)log2(1x)，1x0.由f(x)log2(1x)a，解得x12a，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)f(x)a(0a0时，由f(
5、x)0，即ln(x2x1)0，得x2x11，解得x0(舍去)或x1.当x0时，f(x)exx2，f(x)ex10，所以函数f(x)在(，0上单调递减而f(0)e00210，故函数f(x)在(2,0)上有且只有一个零点综上，函数f(x)有两个零点5(2013天津改编)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_答案2解析当0x1时，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1，令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的图象知在(1，)上有一个交点，即f(x)在(1，)上有一个零点，综上有两个零点6已知函数f(x)则下列关于函数yf(f(x)1的零点个数的判断正确的是_当k0时，有
6、3个零点；当k0时，有4个零点；当k0时，f(f(x)1，综合图(1)分析，则f(x)t1(，)或f(x)t2(0,1)对于f(x)t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)t2，存在两个零点x3，x4.此时共计存在4个零点当k0，且a1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.答案2解析由于2a3b4，故f(1)loga11b1b0，而0loga21,2b(2，1)，故f(2)loga22b0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n2.8方程2xx23的实数解的个数为_答案2解析方程变形为3x22x()x，令y13x2，y2()x.如图所示，由图象可知有2个
7、交点9(2014连云港模拟)已知函数f(x)2ax22x3.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，则实数a的取值范围为_答案解析若a0，则f(x)2x3，f(x)0x1,1，不合题意，故a0.下面就a0分两种情况讨论：(1)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上有零点的条件是解得a.综上，实数a的取值范围为.10(2014天津)已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_答案1a0)当a2时，函数f(x)的图象与函数y1a|x|的图象有3个交点故a2.当ya|
8、x|(x0)与y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，则当1a2时，两个函数图象有4个交点故实数a的取值范围是1a1，h(x)e3x3aex，x0，ln 2，求h(x)的极小值；(3)设F(x)2f(x)3x2kx(kR)，若函数F(x)存在两个零点m，n(0m0,2x2，当且仅当x时等号成立故(2x)min2，所以a2.(2)由(1)知，1a2.令ext，则t1,2，则h(t)t33at.h(t)3t23a3(t)(t)由h(t)0，得t或t(舍去)，a(1,2，1,
9、2，若1t，则h(t)0，h(t)单调递减；若0，h(t)单调递增故当t时，h(t)取得极小值，极小值为h()a3a2a.(3)设F(x)在(x0，F(x0)的切线平行于x轴，其中F(x)2ln xx2kx.结合题意，有得2ln (mn)(mn)k(mn)所以k2x0.由得k2x0.所以ln .设u(0,1)，式变为ln u0(u(0,1)设yln u(u(0,1)，y0，所以函数yln u在(0,1)上单调递增，因此，yy|u10，即ln u0.也就是，ln ，此式与矛盾所以F(x)在(x0，F(x0)处的切线不能平行于x轴12(2014四川)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e2a1.(1)解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2
