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1、课时跟踪检测（五十三） 最值、范围、证明问题一保高考，全练题型做到高考达标1如图所示，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，ABF2的周长为8，且AF1F2面积最大时，AF1F2为正三角形(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q，证明：点M(1,0)在以PQ为直径的圆上解：(1)因为点A，B都在椭圆上，所以根据椭圆的定义有|AF1|AF2|2a且|BF1|BF2|2a，又因为ABF2的周长为8，所以|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8，所以a2.因为椭圆是关于x，y
2、轴，原点对称的，所以AF1F2为正三角形，当且仅当A为椭圆的短轴端点，则a2cc1，b2a2c23，故椭圆E的方程为1.(2)证明：由题意得，动直线l为椭圆的切线，故不妨设切点P(x0，y0)，因为直线l的斜率存在且为k，所以y00，则直线l：yk(xx0)y0，联立方程组消去y，得3x24k(xx0)y02120，由0k.则直线l的方程为1，联立直线l与直线x4得到点Q，则(1x0)(14)(y0)3(1x0)3(1x0)0，所以，即点M在以PQ为直径的圆上2设椭圆M：1(a)的右焦点为F1，直线l：x与x轴交于点A，若2 (其中O为坐标原点)(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意
3、一点，EF为圆N：x2(y2)21的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求的最大值解：由题意知，点A，F1，由12，得2，解得a26.所以椭圆M的方程为1.(2)设圆N：x2(y2)21的圆心为点N，则点N的坐标为(0,2)，则(NE)()()()N1，从而求最大值转化为求的最大值因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)，所以1，即x63y.因为点N的坐标为(0,2)，所以|2x(y02)22(y01)212.因为点P(x0，y0)在椭圆M上，则y0，所以当y01时，取得最大值12，所以的最大值为11.3(2016无锡期末)已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e，且过点P(1,1)(1)求
4、椭圆的方程；(2)若点A(x0，y0)为圆x2y21上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：COOB(O为坐标原点)解：(1)由题意可设椭圆方程为1(ab0)由题意得，则.又a2b2c2，所以a23b2.因为P(1,1)在椭圆上，所以1，解得a24，b2.所以椭圆的方程为1.(2)证明：由题意得切线方程为xx0yy01.若y00，则切线方程为x1或x1，所以B(1,1)，C(1，1)或B(1,1)，C(1，1)，所以COOB；当y00时，切线方程为xx0yy01，与椭圆方程联立并化简得(3xy)x26x0x34y0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)则x1x2，x1x2，x1x2
5、y1y2x1x2(x1x2)0，所以COOB.综上所述，COOB.4(2016合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab1)的离心率e，且椭圆C上一点N到Q(0,3)距离的最大值为4，过点M(3,0)的直线交椭圆C于点A，B.(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆上一点，且满足t (O为坐标原点)，当|AB|时，求实数t的取值范围解：(1)e2，a24b2，则椭圆方程为1，即x24y24b2.设N(x，y)，则|NQ|.当y1时，|NQ|有最大值，则4，解得b21，a24，故椭圆C的方程是y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，直线AB的方程为yk(x3
6、)，由整理得(14k2)x224k2x36k240.则x1x2，x1x2，(24k2)216(9k21)(14k2)0，解得k2.由题意得(x1x2，y1y2)t(x，y)，则x(x1x2)，y(y1y2)k(x1x2)6k.由点P在椭圆上，得4，化简得36k2t2(14k2)由|AB|x1x2|，得(1k2)(x1x2)24x1x23，将x1x2，x1x2代入得(1k2)3，化简得(8k21)(16k213)0，则8k210，即k2，k2.由得t29，由得3t24，2t或t2.故实数t的取值范围为(2，)(，2)二上台阶，自主选做志在冲刺名校如图所示，设F(c,0)是椭圆1(ab0)的左焦点
7、，直线l：x与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|8，且|PM|2|MF|.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B.证明：AFMBFN；求ABF面积的最大值解：(1)|MN|8，a4，又|PM|2|MF|，e.c2，b2a2c212.椭圆的标准方程为1.(2)证明：当AB的斜率为0时，显然AFMBFN0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的方程为xmy8，代入椭圆方程整理得(3m24)y248my1440.576(m24)0，得m24，yAyB，yAyB.则kAFkBF，而2myAyB6(yAyB)2m60，kAFkBF0，AFMBFN.综上可知，AFMBFN.SABFSBFPSAFP|PF|yByA|，即SABF3，当且仅当3，即m时(此时适合于0的条件)取到等号ABF面积的最大值是3.
