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1、第27练立体几何中的计算问题题型一立体几何中的表面积、体积计算例1已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则三棱锥SABC的体积为_破题切入点作出图形，可知三棱锥SABC的体积是两个三棱锥之和，通过三角形的边角关系，计算可得所求答案解析如图，过A作AD垂直SC于D，连结BD.由于SC是球的直径，所以SACSBC90，又ASCBSC30，又SC为公共边，所以SACSBC.由于ADSC，所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VSABCVSABDVCABDSABDSC.由于在RtSAC中，ASC30，SC4，所以AC2，SA2，由于AD.同理在RtBSC中也有BD.又
2、AB，所以ABD为正三角形，所以VSABCSABDSC()2sin 604.题型二立体几何中的长度、距离的计算例2已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_破题切入点作出图形，关键是找到球心的位置答案解析如图，作PM面ABC，设PAa，则ABa，CMa，PMa.设球的半径为R，所以22R2，将R代入上式，解得a2，所以d.题型三立体几何中有关角度的计算例3(2013山东改编)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为_破题切
3、入点如何找到线面角是该题的关键答案解析如图所示，过P作PO垂直于平面ABC，则O为ABC的中心，连结AO，则OAP是PA与平面ABC所成的角SABCsin 60.SABCOPOP，OP.又OA1，tanOAP，又0OAP，OAP.总结提高(1)立体几何中有关表面积体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等(2)立体几何中有关长度和距离的求解要准确灵活转化，计算距离时要注意垂直距离如何找到，有时利用等体积的方法(3)立体几何中有关角度的范围关键把握角的范围和如何找到，然后就是求角的什么三角函数值，注意审题1(2014大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4
4、，底面边长为2，则该球的表面积为_答案解析如图，设球心为O，半径为r，则RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，所以，该球的表面积为4r24()2.2(2014福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为_答案2解析以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r1，高h1，所以侧面积S2rh2.3(2013辽宁改编)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_答案解析因为ABAC，且AA1底面ABC，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l 2R，R.4在三棱柱AB
5、CA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_答案60解析取BC中点E，连结AE，则AE平面BCC1B1，故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角设各棱长为a，则AEa，DEa.tanADE.ADE60.5.如图，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为_答案平行解析取PD的中点F，连结EF，在PCD中，EF綊CD.又ABCD且CD2AB，EF綊AB，四边形ABEF是平行四边形，EBAF.又EB平面PAD，AF平面PAD，BE平面
6、PAD.6已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为_答案(63)解析设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1AO1O2O2C1，而O1Ar1，O1O2r1r2，O2C1r2，r1r1r2r2.r1r2，从而S1S24r4r4(rr)4(63).7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度为_答案解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E为AD
7、的中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F为DC的中点，EFAC.8(2014江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_答案解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，所以.9.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成正四面体PDEF(点A、B、C重合后记为P)，则四面体中异面直线PG与DH所成角的余弦值为_答案解析折成的正四面
8、体如图所示，连结HE，取HE的中点K，连结GK，PK，则GKDH，故PGK即为所求的异面直线所成角或其补角设这个正四面体的棱长为2，在PGK中，PG，GK，PK ，故cosPGK.即异面直线PG与DH所成角的余弦值为.10. (2013安徽)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；当CQ1时，S为六边形；当CQ1时，S的面积为.答案解析当0CQ时，如图(1)在平面A
9、A1D1D内，作AEPQ，显然E在棱DD1上，连结EQ，则S是四边形APQE.当CQ时，如图(2)显然PQBC1AD1，连结D1Q，则S是等腰梯形当CQ时，如图(3)作BFPQ交CC1的延长线于点F，则C1F.作AEBF，交DD1的延长线于点E，D1E，AEPQ，连结EQ交C1D1于点R，RtRC1QRtRD1E，C1QD1EC1RRD112，C1R.当CQ1时，如图(3)，连结RM(点M为AE与A1D1交点)，显然S为五边形APQRM.当CQ1时，如图(4)同可作AEPQ交DD1的延长线于点E，交A1D1于点M，显然点M为A1D1的中点，S为菱形APQM，其面积为MPAQ.11已知一个圆锥的
10、底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示设内接圆柱的半径为r.因为，所以rRx，所以S圆柱侧2rx2Rxx2(0xH)(2)因为0，所以当x时，S圆柱侧最大故当x，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大12(2014北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，BB1BCB，所以AB平面B1BCC1，又因为AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明取AB的中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)解因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.
