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1、第28练完美破解立体几何证明题题型一空间中的平行问题例1在如图所示多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，且ACADCDDE2，AB1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF平面ACD，并证明(2)求多面体ABCDE的体积破题切入点(1)可先猜后证，可以利用线面平行的判定定理进行证明(2)找到合适的底面解如图，(1)由已知AB平面ACD，DE平面ACD，所以ABED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连结FH，AH，则FH綊ED，所以FH綊AB，所以四边形ABFH是平行四边形，所以BFAH，又因为BF平面ACD，AH平面ACD，所以BF平面ACD.(2)取AD
2、中点G，连结CG.因为AB平面ACD，所以CGAB，又CGAD，ABADA，所以CG平面ABED，即CG为四棱锥CABED的高，求得CG，所以VCABED2.即多面体ABCDE的体积为.题型二空间中的垂直问题例2如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB160，ABB1C.(1)求证：平面AA1B1B平面BB1C1C.(2)若AB2，求三棱柱ABCA1B1C1的体积破题切入点(1)考查面面垂直的判定定理(2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系(1)证明由侧面AA1B1B为正方形，知ABBB1.又ABB1C，BB1B1CB1，所以AB平面BB1C
3、1C，又AB平面AA1B1B，所以平面AA1B1B平面BB1C1C.(2)解由题意，CBCB1，设O是BB1的中点，连结CO，则COBB1.由(1)知，CO平面AA1B1B，且COBCAB.连结AB1，则COAB2CO.因为，所以2.故三棱柱ABCA1B1C1的体积为2.题型三空间中的平行、垂直综合问题例3在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.(1)求证：平面EFG平面PMA；(2)求证：平面EFG平面PDC；(3)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比破题切入点(1)证明EG、FG都平行于平面
4、PMA.(2)证明GF平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解(1)证明E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，EGPM，GFBC.又四边形ABCD是正方形，BCAD，GFAD.EG平面PMA，GF平面PMA，PM平面PMA，AD平面PMA，EG平面PMA，GF平面PMA.又EG平面EFG，GF平面EFG，EGGFG，平面EFG平面PMA.(2)证明由已知MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD.又BC平面ABCD，PDBC.四边形ABCD为正方形，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.由(1)知GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面EFG平面PDC.
5、(3)解PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，则PDAD2.DA平面MAB，且PDMA，DA即为点P到平面MAB的距离，VPMABVPABCD(SMABDA)(S正方形ABCDPD)SMABS正方形ABCD(22)14.即三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比为14.总结提高1.证明平行关系的方法：(1)证明线线平行的常用方法：利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；利用平行四边形进行转换；利用三角形中位线定理证明；利用线面平行、面面平行的性质定理证明(2)证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；利用面面平行的性质定理，把
6、证明线面平行转化为证明面面平行(3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行2证明空间中垂直关系的方法：(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；利用勾股定理逆定理；利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可(2)证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；利用常见结论，如两条平行线中的一
7、条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决1若平面平面，直线a，点B，则在内过点B的所有直线中与a平行的直线的条数为_答案一条解析由直线a与B确定的平面与有唯一交线故存在唯一与a平行的直线2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角为_答案90解析在正方体中，显然有A1DAB，A1DAD1，所以A1D平面AD1C1B，又C1E平面AD1C1B
8、，故A1DC1E.3已知、是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a、b，a，b，a，b；存在两条异面直线a、b，a，b，a，b，可以推出的是_答案解析对于，平面与还可以相交；对于，当ab时，不一定能推出，所以是错误的，易知正确4已知，是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，那么ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_答案或解析由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件或.5.如图所示，直线PA垂直于O所在
9、的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是_答案解析对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，PAACA，BCAC，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC；对于，点M为线段PB的中点，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC；对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确6设和为两个不重合的平面，给出下列四个命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，
10、则和垂直；直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直其中为真命题的是_(写出所有真命题的序号)答案解析由知内两条相交直线分别平行于平面，则两条相交直线确定的平面平行于平面，故为真命题；由线面平行的判定定理知，为真命题；对于，如图，l，a，al，但不一定有，故为假命题；对于，直线l与平面垂直的充分必要条件是l与内的两条相交直线垂直，故为假命题综上所述，真命题的序号为.7.如图，在空间四边形ABCD中，MAB，NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_答案平行解析在平面ABD中，MNBD.又MN平面BCD，BD平面BCD，MN平面BCD.8底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱已知一等
11、边圆柱的底面半径为2，则其体积为_答案16解析由题意，圆柱的高为4，则V22416.9.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在Rt
12、PAD中，PAAD2AB，PDA45，正确10给出命题：在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；设l，m是不同的直线，是一个平面，若l，lm，则m；已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，“”是“m”的充要条件；在三棱锥SABC中，SABC，SBAC，则S在平面ABC内的射影是ABC的垂心；a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行其中，正确的命题是_(只填序号)答案解析错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；错误，“”是“m”的必要不充分条件；错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知正确11如图所示，M，N，K分别是
13、正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.证明(1)如图所示，连结NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形AA1KN为平行四边形ANA1K.A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.(2)如图所示，连结BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K.四边形BC1K
