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1、数学思想集训(二)数形结合思想题组1利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题1方程|x22x|a21(a0)的解的个数有_个2a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有2个交点2已知函数f(x)|log2|x|x，则下列结论正确的是_f(x)有三个零点，且所有零点之积大于1；f(x)有三个零点，且所有零点之积小于1；f(x)有四个零点，且所有零点之积大于1；f(x)有四个零点，且所有零点之积小于1.在同一坐标系中分别作出f1(x)|log2|x|与f2(x)x的图象，如图所示，由图象知f1(x)与f2(x)有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是
2、x1，x2，x3，因为f0，f0，所以x1，同理x21,1x32，即1x1x2x3，即所有零点之积大于1.3设函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，f(x)f(2x)，当x0,1时，f(x)x3，则函数g(x)|cos(x)|f(x)在上的所有零点的和为_7函数g(x)|cos(x)|f(x)在上的零点为函数h(x)|cos(x)|与函数f(x)的交点的横坐标因为f(x)f(x)，f(x)f(2x)，所以函数f(x)为关于x1对称的偶函数，又因为当x0,1时，f(x)x3，则在平面直角坐标系内画出函数h(x)|cos(x)|与函数f(x)在内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交
3、点，不妨设从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则由图易得x1x20，x3x52，x41，x6x74，所以x1x2x3x4x5x6x77，即函数g(x)|cos(x)|f(x)在上的零点的和为7.4若函数f(x)asin x在，2上有且只有一个零点，则实数a_.1函数f(x)asin x在，2上有且只有一个零点，即方程asin x0在，2上只有一解，即函数ya与ysin x，x，2的图象只有一个交点，由图象可得a1.5已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_(，0)(1，)函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0有两个不等实根，则
4、函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若a0，则当xa时，f(x)x3，函数单调递增；当xa时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点若0a1，则a3a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线yb至多有一个公共点若a1，则a3a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点综上，a0或a1.题组2利用数形结合思想求解不等式或参数范围6若不等式logaxsin 2x(a0，a1)对任意x都成立，则a的取值范围为_记y1logax(a0，a1)
5、，y2sin 2x，原不等式即为y1y2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y1logax的图象过点A时，a，所以当a1时，对任意x都有y1y2.7函数f(x)是定义域为x|x0的奇函数，且f(1)1，f(x)为f(x)的导函数，当x0时，f(x)xf(x)，则不等式xf(x)1ln|x|的解集是_(，1)(1，)令g(x)xf(x)ln|x|，则g(x)是偶函数，且当x0时，g(x)f(x)xf(x)0，g(x)在(0，)上单调递增故不等式xf(x)1ln|x|g(|x|)g(1)，|x|1，解得x1或x1.8若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_作出y|x2a|和y
6、xa1的简图，依题意知应有2a22a，故a.9已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_(10,12)作出f(x)的大致图象由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10c12，abc(10,12)10已知函数f(x)sin的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图象，若g(x)k0在x上有且只有一个实数根，则k的取值范围是_【导学号：19592072】因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，
7、结合三角函数的图象可知，即T.又T，所以2，f(x)sin.将f(x)的图象向右平移个单位得到f(x)sinsin的图象，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g(x)sin的图象所以方程为sink0.令2xt，因为x，所以t.若g(x)k0在x上有且只有一个实数根，即ysin t与yk在上有且只有一个交点如图所示，由正弦函数的图象可知k或k1，即k或k1.题组3利用数形结合解决解析几何问题11已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为_6根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且AB2
8、m，因为APB90，连结OP，易知OPABm.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为OC5，所以OPmaxOCr6，即m的最大值为6.12过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且AF6，2，则BC_.如图所示，直线与抛物线交于B，C两点，与抛物线的准线交于A点2，F在A，B中间，C在A，F之间，分别过B，C作准线的垂线BB1，CC1，垂足分别为B1，C1.由抛物线的定义可知BFBB1，CFCC1.2，AF6，FBBB13.由AFKABB1可知，FK2.设CFa，则CC1a，由ACC1AFK，得.，a.BCBFFC3.13已知P
9、是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_2从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPACPAACPA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC3，从而PA2.所以(S四边形PACB)min2PAAC2.14已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1
10、)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆C1的方程x2y26x50可化为(x3)2y24，所以圆心坐标为(3,0). 3分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，M(x0，y0)，则x0，y0.由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为ytx.将上述方程代入圆C1的方程，化简得(1t2)x26x50. 5分由题意，可得3620(1t2)0(*)，x1x2，所以x0，代入直线l的方程，得y0.因为xy3x0，所以2y.由(*)解得t2，又t20，所以x03.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为2y2. 10分(3)由(2)知，曲线C是在区间上的一段圆弧如图，D，E，F(3,0)，直线L过定点G(4,0)联立直线L的方程与曲线C的方程，消去y整理得(1k2)x2(38k2)x16k20. 14分令判别式0，解得k，由求根公式解得交点的横坐标为xH，I.由图可知：要使直线L与曲线C只有一个交点，则kkDG，kEGkGH，kGI，即k. 16分
