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1、课时跟踪检测（二十四） 解三角形的综合应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的_方向上解析：由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以 DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.答案：南偏西802(2019扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30和45，两个观察点A，B之间的距离是100 m，则此山CD的高度为_m.解析：设山高CD为x，在RtBCD中有：BDCDx，在RtACD中有：AC2x，ADx.而ABADBD(1)x1
2、00.解得x50(1)答案：50(1) 3.(2019南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35的方向航行40 海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为_海里解析：根据题意画出图形，如图所示在ABC中，ABC7035105，AB40，BC40.根据余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcosABC402(40)224040400(84)400()2，AC20()故所求航行的路程为20()海里答案：20()4已知A船在灯塔C北偏东
3、80处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为_ km.解析：由条件知，ACB8040120，设BCx km则由余弦定理知9x244xcos 120，因为x0，所以x1.答案：15.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km.解析：如题图，由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45，由正弦定理知，所以BS3(km)答案：36(2018天一
4、中学检测)线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小解析：如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD20080x，BE50x，所以y2(20080x)2(50x)22(20080x)50xcos 60整理得y212 900x242 000x40 000(0x2.5)，所以当x时y2最小答案：二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在
5、B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是_海里解析：如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案：102如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为_km/h.解析：设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.答案：63(2018启东二模)如图所示，为了测量A，B
6、两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿的距离为_海里解析：由题意可知CD40，ADB60，ACB60，BCD90，ACD30，ADC105，CAD45.在ACD中，由正弦定理，得，AD20，在RtBCD中，BDC45，BDCD40.在ABD中，由余弦定理，得AB 20.故A，B两处岛屿的距离为20海里答案：204一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进10
7、0 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：505(2018镇江模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为_解析：由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20.则cos A0，因为0A，所以
8、0A.又a为最大边，所以A.因此角A的取值范围是.答案：6. (2019通州中学高三测试)甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15 min时，两船间的距离是_km.解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min时，甲船到达M点，乙船到达N点，由题意知AM82(km)，BN123(km)，MBABAM321(km)，由余弦定理得MN2MB2BN22MBBNcos 1201921313，所以MN(km)答案：7(2018南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15的看台
9、的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为50 s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗解析：依题意可知AEC45，ACE1806015105，所以EAC1804510530.由正弦定理可知，所以ACsinCEA20 m.所以在RtABC中，ABACsinACB2030 m.因为国歌时长为50 s，所以升旗速度为0.6 m/s.答案：0.68如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，沿山坡向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡
10、的斜度为45，若CD50 m，山坡的坡角为，则cos _.解析：在ABC中，由正弦定理可知BC50()(m)在BCD中，由正弦定理可知sinBDC1.由题图知cos sinADEsinBDC1.答案：19(2018镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC200 m，斜边AB400 m现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 设CEF，乙、丙之间
11、的距离是甲、乙之间距离的2倍，且DEF，请将甲、乙之间的距离y表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离解：(1)依题意得BD300，BE100.在ABC中，cos B，所以B.在BDE中，由余弦定理得DE2BD2BE22BDBEcos B30021002230010070 000，所以DE100.答：甲、乙两人之间的距离为100 m.(2)由题意得EF2DE2y，BDECEF.在RtCEF中，CEEFcosCEF2ycos .在BDE中，由正弦定理得，即，所以y，0，所以当时，y有最小值50.答：甲、乙之间的最小距离为50 m.10(2019淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A的正西方C处，且与岛A
12、相距12海里经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A出发沿北偏东30方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B处追上(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin 的值解：(1)依题意知，CAB120，AB10220，AC12，ACB，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosCAB20212222012cos 120784，解得BC28，所以该军舰艇的速度为14海里/小时(2)在ABC中，由正弦定理，得，即sin .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 0
13、00 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取1.4，1.7)解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，所以ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC中，所以BCsin 1510 500()因为CDAD，所以CDBCsinDBC10 500()10 500(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案：2 6502(2019南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l1，l2，公园管理中心位于点O正南方2 km l1上的A处，现计划在l2即点O北偏东45方向，观光路l2路旁B处修建一公园服务中心(1)若为方便管理，使AB两点之间的直线距离不大于2 km，求OB长度的取值范围；(2)为了方便市民活动，拟在l1，l2上分别选点M，N，修建一条小路MN.因环境需要，以O为圆心， km为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M，N的位置，使M，N之间的距离最短解：(1)在ABO中，OA2，OBx，AOB135，根据余弦定理得，AB2OA2O
