《高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 微点突破 三角函数、解三角形中的实际应用问题试题 理-人教版高三数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 微点突破 三角函数、解三角形中的实际应用问题试题 理-人教版高三数学试题（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微点突破三角函数、解三角形中的实际应用问题【例 】 (2013江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙
2、步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理，得BCsin A500(m).乙从B
3、出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.探究提高与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解.【训练1】 如图，现有一个以AOB为圆心角、湖岸OA
4、与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在上取不同于A，B的点C，用渔网沿着(在扇形AOB的上)、半径OC和线段CD(其中CDOA)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域和养殖区域.若OA1 km，AOB，AOC.(1)用表示CD的长度；(2)求所需渔网长度(即图中、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围.解(1)由CDOA，AOB，AOC，得OCD，ODC，COD.在OCD中，由正弦定理，得CDsin，.(2)设渔网的长度为f ().由(1)可知，f ()1sin，所以f ()1cos，因为，所以.令f ()0，得cos，所以，即.列表如下：f ()0f ()极大值且f (0)2，f ，f 1，所
5、以f ().故所需渔网长度的取值范围是(单位：km).【训练2】 (2017徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中ABCBAD90，ADDC2 km，BC1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分.(1)如图1，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；(2)如图2，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度.解(1)因为ADDC2，BC1，ABCBAD90，所以AB.如图1，取AB的中点G，连接EG，则EG，则四边形BCEF的面积为S梯形ABCDS梯形BCEGSEFG，即(12)GF，解得GF，所以EF(km).答：灌溉水管EF的长度为 km.(2)如图2，连接AC，设DEa，DFb，图2在ABC中，CA2，所以在ADC中，ADDCCA2，所以ADC60，所以DEF的面积为SDEFabsin 60ab，又S梯形ABCD(12)，所以SDEFS梯形ABCD，即ab，即ab3.在DEF中，由余弦定理，得EF，当且仅当ab时，取等号.故灌溉水管EF的最短长度为 km.答：灌溉水管EF的最短长度为 km.
