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1、第九章 平面解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0180.2斜率公式(1)直线l的倾斜角为90，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线y
2、y1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用小题体验1若直线l的倾斜角为60，则该直线的斜率为_解析：因为tan 60，所以该直线的斜率为.答案：2过点(0,1)，且倾斜角为45的直线方程是_解析：因为直线的斜率ktan 451，所以由已知及直线的点斜式方程，得y1x0，即yx1.答案：yx13已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_.解析：令x0，则l在y轴的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1.依题意2a1，解得a1或a2.答案：1或24已知a0，直线axmy5m0过点(2,1)，则此直线的斜率为_解
3、析：因为直线axmy5m0过点(2,1)，所以2am5m0，得a2m，所以直线方程为2mxmy5m0.又a0，所以m0，所以直线方程2mxmy5m0可化为2xy50，即y2x5，故此直线的斜率为2.答案：21利用两点式计算斜率时易忽视x1x2时斜率k不存在的情况2用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误3直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式4由一般式AxByC0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B0时，k不存在；当B0时，k.小题纠偏1下列有关直线l：xmy10的说法：直线l的斜率为m；直线l的斜率为；直线l过定点(
4、0,1)；直线l过定点(1,0)其中正确的说法是_(填序号)解析：直线l：xmy10可变为my(x1)当m0时，直线l的方程又可变为y(x1)，其斜率为，过定点(1,0)；当m0时，直线l的方程又可变为x1，其斜率不存在，过点(1,0)所以不正确，正确又将点(0,1)代入直线方程得m10，故只有当m1时直线才会过点(0,1)，即不正确答案：2过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点设1，即xya.则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案：4x3y0或xy10题组练透1直线x的倾斜角等于_解析：直线x，知倾斜
5、角为.答案：2(2016南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法：两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；平行于x轴的直线的倾斜角为0或180；若直线过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)，则该直线的斜率为.其中正确说法的个数为_解析：若两直线的倾斜角均为90，则它们的斜率都不存在，所以不正确直线倾斜角的取值范围为0180，所以平行于x轴的直线的倾斜角为0，不可能是180，所以不正确当x1x2时，过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的直线的斜率不存在；当x1x2时，过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的直线的斜率才为，所以不正确答案：03已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,
6、1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析：如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl.2或.解得0m或m0，b0，故ab(ab)2224，等号当且仅当ab时取到，故ab的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2(2016苏州模拟)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为_解析：由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0k1，即02x021，故1x0.答案：角度三：与圆相结合求直线
7、方程问题3在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是_解析：直线OA的方程为yx，代入半圆方程得A(1,1)，H(1,0)，直线HB的方程为yx1，代入半圆方程得B.所以直线AB的方程为，即xy10.答案：xy10方法归纳处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值一抓基础，多练小题做到眼
8、疾手快1直线xy10的倾斜角是_解析：由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，所以.答案：2直线l：xsin 30ycos 15010的斜率是_解析：设直线l的斜率为k，则k.答案：3倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是_解析：直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10.答案：xy104若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_解析：ktan ，k0或k1.答案：，0)5如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不经过第_象限解析：由题意知ABC0，直线方程变形为yx.AC0，BC0，其斜率k0.直线过第一、二、四象限，不经过第三象限答案
9、：三二保高考，全练题型做到高考达标1(2016常州一中月考)已知直线l的斜率为k，倾斜角为，若3090，则实数k的取值范围是_解析：因为300，且斜率k随着的增大而增大，所以k.答案：2(2016南京学情调研)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是_解析：依题意，直线的斜率k，因此其倾斜角的取值范围是.答案：3若kR，直线kxy2k10恒过一个定点，则这个定点的坐标为_解析：y1k(x2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，1)答案：(2，1)4已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.答案：4x3y405直线l1：(2m25m2)x(m24)y50的斜率与直线l2：xy10的斜率相同，则m等于_解析：由题意知m2，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则1，即m25m60，解得m2或3(m2不合题意，舍去)，故m3.答案：36直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_解析：直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2)答案：(2，2)7一条直线经
