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1、第八章 立体几何第一节 空间几何体的结构特征1简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到(2)简单多面体的结构特征：棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135
2、)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半小题体验1关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是_(填序号)棱柱的侧棱长都相等；四棱锥有四个顶点；三棱台的上、下底面是相似三角形；有的棱台的侧棱长都相等解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点，故说法不正确，由棱柱、棱台的结构，知说法正确答案：2.如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是_ cm.解析：将直观图还原为平面图形，如图所示可知周长为
3、8 cm.答案：83(2016金陵中学检测)下列结论正确的是_(填序号)各个面都是三角形的几何体是三棱锥；以三角形的一条边所在直线为轴，旋转一周得到的几何体叫圆锥；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥；圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，则所得的几何体就不是圆锥，故错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故错误；由圆锥母线的定义，知正确答案：1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底
4、面平行且侧棱延长后必交于一点2注意斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变小题纠偏1下列说法正确的是_(填序号)有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台；多面体至少有3个面；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：说法错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以说法错误；说法错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的
5、定义，知说法正确答案：2下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是_(填序号)正三角形的直观图是正三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；矩形的直观图是矩形；圆的直观图是圆解析：直观图改变了原图中角的大小及图形的形状，所以都不正确，易知正确答案：3.如图所示的正方形ABCD用斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，平行四边形中有一条边的边长为4，则此正方形的面积是_解析：由题意，可知在直观图(图略)中，若边长为4的边与x轴平行，则原正方形的边长为4，此时正方形的面积为16；若边长为4的边与y轴平行，则原正方形的边长为8，此时正方形的面积为64.答案：16或64题组练透1用任意一个平面截一个
6、几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是_解析：截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体答案：球体2下列说法中正确的个数是_以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥；以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；圆锥、圆台的底面都是圆；分别以矩形的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱解析：中，若以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，得到的是由两个底面重合的圆锥组成的旋转体，故说法正确；中，必须以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴才能得到圆台，若以其余三边所在直线为旋转轴，则不能得到圆台，故说法错误；显然说法正确答案：
7、33下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是_(填序号)解析：中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱经过折叠可以围成一个棱柱答案：谨记通法解决与空间几何体结构特征有关问题3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；(3)通过反例对结构特征进行辨析典例引领如图，ABC是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形解：(1)画出直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA，即CACA；(2)在图中，过B作BDy轴，交x轴于D，在x轴上取ODOD，过点D作DBy轴，并使DB2DB；
8、(3)连结AB，BC，则ABC即为ABC原来的图形，如图所示由题悟法用斜二测画法画直观图的3个步骤(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出即时应用用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为_cm2.解析：依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为
9、8 cm2.答案：8一抓基础，多练小题做到眼疾手快1四棱柱有_条侧棱，_个顶点解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)答案：482给出下列几种说法：圆柱的底面是圆；经过圆柱的任意两条母线的截面是一个矩形；连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；圆柱的任意两条母线互相平行其中不正确的个数是_解析：圆柱的母线一定垂直于圆柱的两个底面，而连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与底面垂直，所以说法不正确，显然说法正确答案：13给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四
10、棱柱其中正确的命题个数是_解析：反例：直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误答案：04.(2016南通调研)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面上的数字是_解析：由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与4相对，2与2相对，0与3相对，所以正方体的下面上的数字是2.答案：25如图，线段OA在平面xOy中，它与x轴的夹角为45，它的长为2，OA的直观图OA的长为_解析：过点A作AB
11、Ox于B，OA2，AOB45，OBAB2，线段OB的直观图OB2，AB1，OBA135.OA22212221cos 135，OA.答案： 二保高考，全练题型做到高考达标1将等边三角形绕它的一条中线旋转180，形成的几何体是_解析：因为等边三角形是一个对称图形，并且中线过其顶点，底边旋转后成为一个圆，所以形成的几何体是一个圆锥答案：圆锥2把一个圆锥截成圆台，已知圆台上下底面的半径之比为14，母线长为9；则圆锥的母线长是_解析：设该圆锥的轴截面如图所示，由平面几何知识可知，所以，所以CB3，所以BC3912.即圆锥的母线长为12.答案：123如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能
12、是_(填序号)三棱锥；四棱锥；五棱锥；六棱锥解析：各个侧面都是等边三角形，故六棱锥的底面的每一条边长都相等，底面是一个六边都相等的六边形当这个六边形是正六边形时，如图可知AD2ABSASD，这时不能构成三角形；当这个六边形不是正六边形时，则AD，BE，CF三条线段中必然有一条大于或等于SASD，这时也不能构成三角形，故这个棱锥不可能是六棱锥序号中都有符合条件的棱锥，故填.答案：4下列关于投影的说法正确的是_(填序号)平行投影的投影线是互相平行的；中心投影的投影线是互相垂直的；线段上的点在中心投影下仍然在线段上；平行的直线在中心投影下不平行解析：平行投影是指投影线互相平行的投影，故是正确的；中心
13、投影的投影线一般是不垂直的；线段上的点在中心投影下可以重合于一点；平行的直线在中心投影下可以平行也可以不平行答案：5.如图所示是水平放置的ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原ACB中，ACB30，则原图形中与线段BD的长相等的线段有_条解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以ADDCBD.答案：26设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的答案：7如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，OC2，则原图形OABC的面积为_解析：由题意知原图形OABC是平行四边形，且OABC6，设平行四边形OABC的高为OE，则OEOC，OC2，OE4，SOABC6424.答案：248(2016南京师大附中月考)已知正三角形ABC的边长为a，那么用斜二测画法得到的ABC的平面直观图ABC
